複素フーリエ級数を証明します。
まず、フーリエ級数は以下です。
\[f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}\mathrm{cos}(n\omega_0 t)+b_{n}\mathrm{sin}(n\omega_0 t))\]
cos関数の複素指数表現\(\mathrm{cos}(x)=\displaystyle\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\)とsin関数の複素指数表現\(\mathrm{sin}(x)=\displaystyle\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\)を使って、上記のフーリエ級数を変形します。
\[=a_0+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{a_n(e^{in\omega _0t}+e^{-in\omega _0t})}{2}+\frac{b_n(e^{in\omega _0t}-e^{-in\omega _0t})}{2i} \right )\]
\(\displaystyle\frac{i}{i}\)を\(b_n\)側の分数に掛けて整理します。
\[=a_0+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{a_n(e^{in\omega _0t}+e^{-in\omega _0t})-ib_n(e^{in\omega _0t}-e^{-in\omega _0t})}{2} \right )\]
e^[inωt]]とe^[ーinωt]]で整理します。
\[=a_0+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{(a_n-ib_n)e^{in\omega _0t}+(a_n+ib_n)e^{-in\omega _0t}}{2} \right )\]
これを式1とします。
まず、フーリエ係数を求める式は以下です。
\[a_{0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt\]
\[a_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}\cos(n\omega_0 t)f(t)dt\]
\[b_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}\sin(n\omega_0 t)f(t)dt\]
cos関数の複素指数表現\(\mathrm{cos}(x)=\displaystyle\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\)を使って、\(a_n\)の式を変形します。
\[a_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}\frac{e^{in\omega _0t}+e^{-in\omega _0t}}{2}f(t)dt\]
定積分の線形性より、以下のように変形できます。これを式2とします。
\[a_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}e^{in\omega _0t}f(t)dt+\frac{1}{T}\int_{0}^{T}e^{-in\omega _0t}f(t)dt\]
次に、sin関数の複素指数表現\(\mathrm{sin}(x)=\displaystyle\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\)を使って、\(b_n\)の式を変形します。
\[b_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}\frac{e^{in\omega _0t}-e^{-in\omega _0t}}{2i}f(t)dt\]
定積分の線形性より、以下のように変形できます。
\[b_{n}=\frac{1}{iT}\int_{0}^{T}e^{in\omega _0t}f(t)dt-\frac{1}{iT}\int_{0}^{T}e^{-in\omega _0t}f(t)dt\]
両辺に\(i\)を掛けます。これを式3とします。
\[ib_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}e^{in\omega _0t}f(t)dt-\frac{1}{T}\int_{0}^{T}e^{-in\omega _0t}f(t)dt\]
式2と式3を並べると以下です。
\[a_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}e^{in\omega _0t}f(t)dt+\frac{1}{T}\int_{0}^{T}e^{-in\omega _0t}f(t)dt\]
\[ib_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}e^{in\omega _0t}f(t)dt-\frac{1}{T}\int_{0}^{T}e^{-in\omega _0t}f(t)dt\]
式2と式3を足します。これを式4とします。
\[a_{n}+ib_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}e^{in\omega _0t}f(t)dt\]
式2から式3を引きます。これを式5とします。
\[a_{n}-ib_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}e^{-in\omega _0t}f(t)dt\]
\(a_0\)の式を式6とします。
式1と式4〜6を並べると以下です。
\[f(t)=a_0+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{(a_n-ib_n)e^{in\omega _0t}+(a_n+ib_n)e^{-in\omega _0t}}{2} \right )\]
\[a_{n}+ib_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}e^{in\omega _0t}f(t)dt\]
\[a_{n}-ib_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}e^{-in\omega _0t}f(t)dt\]
\[a_{0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt\]
\(a_n+ib_n\)の式と\(a_n-ib_n\)の式を\(f(t)\)の式に代入します。
\[f(t)=a_0+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\left ( \left ( \frac{1}{T}\int_{0}^{T}e^{-in\omega _0t}f(t)dt \right )e^{in\omega _0t}+\left ( \frac{1}{T}\int_{0}^{T}e^{in\omega _0t}f(t)dt \right )e^{-in\omega _0t} \right )\]
\(c_n=\displaystyle\frac{1}{T}\int_{0}^{T}e^{-in\omega _0t}f(t)dt\)と置きます。\(d_n=\displaystyle\frac{1}{T}\int_{0}^{T}e^{in\omega _0t}f(t)dt\)と置きます。
\[f(t)=a_0+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\left ( c_ne^{in\omega _0t}+d_ne^{-in\omega _0t} \right )\]
括弧を展開します。
\[f(t)=a_0+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } c_ne^{in\omega _0t}+\sum_{n=1}^{\infty }d_ne^{-in\omega _0t}\]
\(c_ne^{in\omega _0t}\)は、\(n=0\)のとき、\(a_0\)となるため、以下のように整理できます。
\[f(t)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty } c_ne^{in\omega _0t}+\sum_{n=1}^{\infty }d_ne^{-in\omega _0t}\]
結果は変わらないため、以下のように変形します。
\[f(t)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty } c_ne^{in\omega _0t}+\sum_{n=-1}^{-\infty }d_{-n}e^{in\omega _0t}\]
\(d_{-n}=c_n\)なので、以下になります。
\[f(t)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty } c_ne^{in\omega _0t}+\sum_{n=-1}^{-\infty }c_ne^{in\omega _0t}\]
シグマを合成します。
\[f(t)=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty } c_ne^{in\omega _0t}\]
証明できました。