フーリエ級数を\(f(t)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }(a_{n}\mathrm{cos}(n\omega_0 t)+b_{n}\mathrm{sin}(n\omega_0 t))\)とした場合、フーリエ級数の直交性より、任意の\(n\)、\(m\)に対して、以下の式が成り立ちます。
\[\displaystyle \int_{0}^{T}\cos(n\omega_0 t)\sin(m\omega_0 t)dt=0\]
\[\displaystyle \int_{0}^{T}\cos(n\omega_0 t)\cos(m\omega_0 t)dt=0\]
\[\displaystyle \int_{0}^{T}\sin(n\omega_0 t)\sin(m\omega_0 t)dt=0\]
これらを証明します。
\(\displaystyle \int_{0}^{T}\cos(n\omega_0 t)\sin(m\omega_0 t)dt=0\)を証明します。
積和の公式を使って、以下のように変形します。
\[=\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \int_{0}^{T}\left ( \sin((n+m)\omega_0 t)-\sin((n-m)\omega_0 t) \right )dt\]
定積分の線形性を使って、以下のように変形します。
\[=\frac{1}{2}\left ( \displaystyle \int_{0}^{T} \sin((n+m)\omega_0 t)dt - \displaystyle \int_{0}^{T} \sin((n-m)\omega_0 t) dt \right )\]
\(\displaystyle \int \sin(ax) \, dx = -\displaystyle \frac{1}{a} \cos(ax) + C\)であることを利用して、定積分を解くと、それぞれ0になります。なお、\(\omega_0=\displaystyle\frac{2\pi}{T}\)です。
よって、証明できました。
\(\displaystyle \int_{0}^{T}\cos(n\omega_0 t)\cos(m\omega_0 t)dt=0\)と\(\displaystyle \int_{0}^{T}\sin(n\omega_0 t)\sin(m\omega_0 t)dt=0\)も同様の方法で証明できます。