離散時間フーリエ変換（Discrete-Time Fourier Transform, DTFT）とは、離散時間信号に対して定義されるフーリエ変換のことです。
離散時間信号を\(x[n]\)、\(x[n]\)の複素スペクトルを\(X(\hat{f})\)とした場合、離散時間フーリエ変換は、以下のように表せます。
\[X(\hat{f}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-i2\pi \hat{f}n}\]
なお、\(\hat{f}\)は、離散時間信号の時間間隔を\(\Delta t\)秒と仮定した場合に、\(\displaystyle\frac{1}{\Delta t}\,[\mathrm{Hz}]\)を1として正規化された周波数です。
つまり、\(\hat{f}\)は、周波数を\(f\)とした場合、以下のように定義されます。
\[\hat{f}=\frac{f}{\frac{1}{\Delta t}}=f\Delta t\]
離散時間フーリエ変換は、周期1の周期関数であり、以下が成り立ちます。
\[X(\hat{f} + 1)=X(\hat{f})\]
離散時間信号\(x[n]\)は数学的には、数列であり、時間間隔が定義されていません。
よって、便宜的に、\(x[n]\)を\(\Delta t\)秒ごとに変化する離散時間信号と捉えます。
この離散時間信号を用いれば、フーリエ変換の定積分を以下のように総和の計算に置き換えることができます。
\[X(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left ( x[n] e^{-i2\pi fn\Delta t} \Delta t\right )\]
\(\Delta t=1\)として、正規化します。さらに、\(\hat{f}=f\Delta t\)と置き換えて、周波数を正規化します。
\[X(\hat{f}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-i2\pi \hat{f}n}\]
導出できました。