線形性とは、写像において、以下の二つの計算を成り立たせる性質のことです。ここで、\(x\)と\(y\)は任意の要素、\(a\)はスカラーです。
\[f(x+y)=f(x)+f(y)\]
\[f(ax)=af(x)\]
よって、写像\(f\)が線形性を持っている場合、以下のような計算が成り立ちます。
\[f(ax+by)=af(x)+bf(y)\]
\[f(ax+by+cz)=af(x)+bf(y)+cf(z)\]
なお、ここで追加された\(z\)は任意の要素、\(c\)はスカラーです。
線形性を持つ写像は、複雑な入力をよりシンプルな形に分解して写像することができます。
例えば、写像\(f\)が線形性を持つ場合、\(ax+by+cz\)のような複雑な計算式をそのまま\(f(ax+by+cz)\)のように写像するのではなく、\(f(x)\)、\(f(y)\)、\(f(z)\)のシンプルな写像を用いて、\(af(x)+bf(y)+cf(z)\)で写像できます。
よって、写像が線形性を持つ場合、計算を単純化し、写像を容易にします。