容量性リアクタンス

容量性リアクタンスとは、コンデンサーに交流電流を流した際の電流の流れにくさのことです。単位は、電気抵抗と同じオーム（Ω）です。

交流電圧の実効値をV_[___RMS__]] [___V__]、交流電流の実効値をI_[___RMS__]] [___A__]とした場合、オームの法則より、容量性リアクタンスX_[C]] [___Ω__]は、以下になります。

特に、静電容量C [___F__]のコンデンサーに角周波数ωの単振動波の交流電圧を加えると、容量性リアクタンスは、1/ωC[___Ω__]になります。

1/ωCの導出方法

コンデンサーに単振動波の交流電圧を加えて、交流電流を流したとします。

このとき、交流電圧の振幅をV_[0]]、交流電流の振幅をI_[0]]、角周波数をω、時刻をtとすると、交流電圧と交流電流は、例えば、以下のように表せます。（コンデンサーに流れる交流電流より）

V_[0]] fsinωt

I_[0]] fcosωt

また、静電容量をC [___F__]、コンデンサーに加える電圧をV [___V__]とすると、コンデンサーが蓄える電気量は、CV [___C__]です。

よって、コンデンサーに単振動波の交流電圧を加えた際に蓄える電気量は、CV_[0]] fsinωtと表せます。さらに、CV_[0]]=Q_[0]]と置いて、Q_[0]] fsinωtとします。

Q_[0]] fsinωtより、微小時間Δtの間に増加する電気量ΔQは、以下のように表せます。

ΔQ=Q_[0]] fsinω(t+Δt)-Q_[0]] fsinωt

=Q_[0]](fsin(ωt+ωΔt)-fsinωt)

三角関数の加法定理を使って、以下のように変形します。

=Q_[0]](fsinωt fcosωΔt+fcosωt fsinωΔt-fsinωt)

Δtが0の極限であれば、fcosωΔt=1になります。同様に、Δtが0の極限であれば、θが0の極限でsinθ=θとなる理由より、fsinωΔt=ωΔtとなります。よって、以下の式を得ます。

=Q_[0]](fsinωt+ωΔt fcosωt-fsinωt)

=ωΔt Q_[0]] fcosωt

コンデンサーに流れ込む電流I [___A__]は、I=ΔQ/Δtと表せるので、この式にΔQ=ωΔt Q_[0]] fcosωtを代入します。

I=ωQ_[0]] fcosωt

このIと、コンデンサーに接続した交流電源の電流I_[0]] fcosωtは一致するため、以下の等式を得ます。

I_[0]] fcosωt=ωQ_[0]] fcosωt

よって、I_[0]]=ωQ_[0]]となります。さらに、Q_[0]]=CV_[0]]と置いたので、I_[0]]=ωCV_[0]]となります。

なので、コンデンサーに単振動波の交流電圧を加えて、交流電流を流すと、交流電圧と交流電流は、以下のように表せます。

V_[0]] fsinωt

ωCV_[0]] fcosωt

これらの単振動波の実効値は、以下になります。

オームの法則V=IRを使って、Rの部分に該当する容量性リアクタンスX_[C]]を求めると、=1/ωCを導出できます。