DCT-IIとは、以下の式で表される離散コサイン変換のことです。
\[X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cos \left ( \pi\frac{k}{N}(n + 0.5) \right )\]
ここで、\(x[n]\)は、任意の離散時間信号です。
\(N\)個の離散時間信号\(x[n]\)があったとします。\(x[n]\)を鏡像を作るように2倍の長さの線対称な離散時間信号に拡張します。
この\(2N\)個の偶数個の線対称な離散時間信号に対する離散フーリエ変換は、以下になります。
\[X[k] = \sum_{n=0}^{2N-1} x[n] \cos \left ( 2\pi\frac{k}{2N}(n + 0.5) \right )\]
このとき、\(x[n]\)も\(\cos \left ( 2\pi\displaystyle\frac{k}{2N}(n + 0.5) \right )\)も前半のデータと後半のデータで線対称になっているため、以下のように変形できます。
\[ = 2\sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cos \left ( \pi\frac{k}{N}(n + 0.5) \right )\]
全体を2で割っても振幅スペクトルが半分のレベルになるだけなので、以下のように変形します。
\[X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cos \left ( \pi\frac{k}{N}(n + 0.5) \right )\]
導出できました。