定積分の置換積分とは、定積分の変数を別の変数に置き換えて定積分を行うことです。
\(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)dx\)の\(x\)を\(x=g(u)\)で\(u\)に置き換えた場合、定積分の置換積分は、以下のように表せます。
\[\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(u))g'(u)du\]
積分区間\(a\sim b\)は、逆関数\(u=g^{-1}(x)\)を使って、\(g^{-1}(a)\sim g^{-1}(b)\)に変更しています。
定積分の置換積分は、一般的には、そのままでは解くことの難しい定積分を容易にするために利用されます。
ここでは、冒頭の公式を使わずに、定積分の置換積分を行います。公式を使わない方が簡単に定積分の置換積分ができる場合があります。
まず、以下の定積分があったとします。
\[\int_{1}^{4}\frac{1}{2\sqrt{x}}dx\]
\(u=\sqrt{x}\)と置き、数式をシンプルにします。積分区間は、\(u=\sqrt{x}\)を使って、\(1\sim 2\)に変更します。
\[=\int_{1}^{2}\frac{1}{2u}dx\]
\(u=\sqrt{x}\)の両辺を2乗すると、\(u^2=x\)です。よって、\(\displaystyle\frac{dx}{du}=2u\)です。\(dx=2udu\)と変形します。これを使って、上記の式を書き換えます。
\[=\int_{1}^{2}1du\]
この定積分を解きます。
\[=\left [ u \right ]_{1}^{2}=1\]