正規化した減衰率付き微分回路（デジタルフィルタ）

正規化した減衰率付き微分回路とは、zの領域で以下のように図式化できるデジタルフィルタのことです。減衰率付き微分回路に1/B+1倍を加えて、0Hzの振幅倍率が1になるように正規化したものです。なお、減衰率Bの範囲は、ー1＜B＜＝0です。

正規化した減衰率付き微分回路は時間領域で1サンプル毎に以下の計算を行うことにより、実現できます。___buf__は、1サンプル前の途中計算の値を格納する変数で初期値は0です。

正規化した減衰率付き微分回路の伝達関数

正規化した減衰率付き微分回路のデジタルフィルタの伝達関数H（z)を求めてみます。まず、zの領域での関係式は以下になります。

左辺がになるように式を整理すると以下になります。

伝達関数H（z)が求まりました。なお、減衰率付き微分回路の伝達関数に1/B+1を掛けたものと同じです。

上記の伝達関数H（z)を使って、正規化した減衰率付き微分回路の周波数特性を調べます。

まず、H（z)を周波数領域の関数H（ f )に変換しますが、減衰率付き微分回路のH（ f )に1/B+1を掛けたものが正規化した減衰率付き微分回路のH（ f )になります。よって、正規化した減衰率付き微分回路のH（ f )の実部と虚部は、以下になります。

実部と虚部を使った複素数平面上の座標(___Re__（H（ f )) , ___Im__（H（ f )))を2次元の極座標(r_[f]] , θ_[[f]])に変換します。

なお、r_[f]]は、減衰率付き微分回路のr_[f]]に1/B+1を掛けたものです。また、θ_[f]]は、減衰率付き微分回路のθ_[f]]と同じです。

減衰率Bをー0.998、fsを48___kHz__、fを周波数の対数スケール、振幅倍率であるr_[f]]を電圧比のデシベルでグラフにすると以下になります。

減衰率Bをー0.998、fsを48___kHz__、fを周波数の対数スケールで位相θ_[f]]をグラフにすると以下になります。

位相が±90°以内なので、でも良いです。

減衰率Bの正規化した減衰率付き微分回路のターンオーバー周波数は、の等式から求められます。よって、ターンオーバー周波数をf_[t]]とすれば、以下の式からf_[t]]を求められます。

両辺を2乗した後、両辺に(B+1)^[2]]を掛けます。

以下のように整理します。

逆三角関数の___arccos__を利用して以下の式を作ります。

最後にf_[t]]を求めます。

減衰率Bの正規化した減衰率付き微分回路のターンオーバー周波数f_[t]]が求まりました。

上記の過程で作ったを整理して以下の2次方程式を作ります。

2次方程式の解の公式を使って、Bを求めます。なお、ー1＜B＜＝0の条件があるため、2次方程式の解は以下の一つです。

正規化した減衰率付き微分回路のターンオーバー周波数f_[t]]から減衰率Bが求まりました。