定積分の線形性

定積分には、線形性があります。

よって、以下が成り立ちます。

\[\int_{c}^{d} \left ( af(x)+bg(x) \right )dx=a\int_{c}^{d} f(x)dx+b\int_{c}^{d} g(x)dx\]

定積分の線形性の証明

以下の定積分を変形していきます。

\[\int_{c}^{d} \left ( af(x)+bg(x) \right )dx\]

\(af(x)+bg(x)\)を不定積分します。

\[=\left [ \int \left ( af(x)+bg(x) \right )dx \right ]_{c}^{d}\]

不定積分の線形性を使って、以下のように変形します。

\[=\left [ a\int f(x)dx+b\int g(x)dx \right ]_{c}^{d}\]

以下のように変形します。

\[=a\left [ \int f(x)dx \right ]_{c}^{d}+b\left [ \int g(x)dx \right ]_{c}^{d}\]

それぞれ定積分にします。

\[=a\int_{c}^{d} f(x)dx+b\int_{c}^{d} g(x)dx\]

定積分の線形性を証明できました。