ある連立1次方程式の係数行列\(A\)の行列のランクを\(\text{Rank}(A)\)、拡大係数行列\(B\)の行列のランクを\(\text{Rank}(B)\)とした場合、\(\text{Rank}(A)=\text{Rank}(B)\)のとき、この連立1次方程式は、少なくとも1つの解を持ちます。
\(\text{Rank}(A)=\text{Rank}(B)\)で未知数の数が\(\text{Rank}(A)\)に等しいとき、この連立1次方程式は、一意の解を持ちます。
\(\text{Rank}(A)=\text{Rank}(B)\)で未知数の数よりも\(\text{Rank}(A)\)が小さいとき、この連立1次方程式は、無数の解を持ちます。
一方、\(\text{Rank}(A)\neq \text{Rank}(B)\)のとき、この連立1次方程式は、解を持ちません。
以下の連立1次方程式があったとします。
\[\left\{\begin{matrix} x+2y+3z=0 \\ 4x+5y+6z=3 \\ 7x+8y+9z=6 \end{matrix}\right.\]
上記を拡大係数行列に展開して、簡約化すると以下です。
\[\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{matrix} \end{pmatrix}\]
係数行列の行列のランクも拡大係数行列の行列のランクも2です。さらに、未知数の数よりも係数行列の行列のランクが小さいです。よって、この連立1次方程式は無数の解を持ちます。
無数の解を持つことを確認してみます。簡約化した拡大係数行列を連立1次方程式に展開すると以下です。
\[\left\{\begin{matrix} x-z=2 \\ y+2z=-1 \end{matrix}\right.\]
\(x, y, z\)のどれかの値を決めれば、他の未知数が決まります。よって、無数の解を持つことを確認できました。