単位円を使った三角関数の定義(cosθsinθtanθ

単位円(半径1の円)の中心から円周へ直線を引き、それによって作られる以下の直角三角形を用いて、三角関数(fcosθfsinθftanθ)を次のように定義すると、三角関数の数学的利用価値が上がります。

通常の三角関数では、θの範囲は0°〜90°ですが、単位円を使って三角関数を定義すると、θを0°〜360°に拡張できます。

単位円の三角関数の値について

fcosθは、x座標を表しているため、点aをぐるぐる回すと以下のように、1〜1の範囲で連続的に値が振動します。

fsinθは、y座標を表しているため、点aをぐるぐる回すと以下のように、1〜1の範囲で連続的に値が振動します。

一方、ftanθは、点aをぐるぐる回しても、1〜1の範囲で連続的に値は振動しません。

三角関数の基本公式

冒頭の公式から導けます。

fcos^[2]]θ+fsin^[2]]θ=1

冒頭の単位円が作る直角三角形の3辺の関係をピタゴラスの定理を使って表したものです。

fcos^[2]]θ+fsin^[2]]θ=1から導出できます。

fcos(ーθ )=fcosθ

上記のアニメーションから点aを逆向きに回してもfcosθと値が同じことが分かります。

fsin(ーθ )=ーfsinθ

上記のアニメーションから点aを逆向きに回すとfsinθの値が反転することが分かります。

ftan(ーθ )=ーftanθ

なので、となります。

fcos(θ+90°)=ーfsinθfsin(θ+90°)=fcosθ

これらは、以下の波形から分かります。赤がfcosθ、青がfsinθです。