単位円に基づく三角関数とは、直角三角形に基づく三角関数を発展させたもので、fcos(θ)、fsin(θ)、ftan(θ)のθに任意の角度を入力できるようにした三角関数のことです。
単位円に基づく三角関数では、以下の単位円（半径が1の円）を用いて定義されます。θは、単位円上の点と原点を結ぶ直線とx軸のプラス方向の軸が作る角度です。θは、単位円上の点が反時計回りに回転する際に加算され、時計回りに回転する際に減算されます。
この場合、単位円に基づく三角関数は、以下のように定義されます。
\[\mathrm{cos}(\theta) =単位円上の点のx座標\]
\[\mathrm{sin}(\theta) =単位円上の点のy座標\]
\[\mathrm{tan}(\theta) =\frac{単位円上の点のy座標}{単位円上の点のx座標}\]
\(\mathrm{cos}(\theta)\)はcos関数、\(\mathrm{sin}(\theta)\)はsin関数、\(\mathrm{tan}(\theta)\)はtan関数と呼びます。
単位円に基づく三角関数は、θの範囲が0度から90度のとき、直角三角形に基づく三角関数と同じ結果になります。
単位円に基づく三角関数では、θの範囲は、マイナス無限大からプラス無限大になります。
なお、一般的に「三角関数」と言う場合、通常は単位円に基づく三角関数を指します。
fcos(θ)は、単位円上の点のx座標を表しているため、以下のように、ー1〜1の範囲で値が振動します。
fsin(θ)は、単位円上の点のy座標を表しているため、以下のように、ー1〜1の範囲で値が振動します。
単位円に基づく三角関数では、通常、角度の単位として弧度法が使用されます。
弧度法では、単位円の円弧の長さが角度になります。このため、弧度法は、単位円に基づく三角関数の角度を定義するのに最も自然な方法とされています。
例えば、\((\cos(\theta))^2\)は、\(\cos^2(\theta)\)と表記することが可能です。
三角関数には、以下のような基本公式があります。
\[\mathrm{tan}(\theta )=\frac{\mathrm{sin}(\theta )}{\mathrm{cos}(\theta )}\]
\[(\mathrm{cos}(\theta ))^{2}+(\mathrm{sin}(\theta ))^{2}=1\]
\[\sin(\theta )=\sqrt{1-(\cos(\theta ))^2}\]
\[\cos(\theta )=\sqrt{1-(\sin(\theta ))^2}\]
\[1+(\mathrm{tan}(\theta ))^{2}=\frac{1}{(\mathrm{cos}(\theta ))^{2}}\]
fcos(ーθ)=fcos(θ)
fsin(ーθ)=ーfsin(θ)
ftan(ーθ)=ーftan(θ)
\[\mathrm{cos}(\theta+\frac{\pi }{2})=-\mathrm{sin}(\theta )\]
\[\mathrm{sin}(\theta+\frac{\pi }{2})=\mathrm{cos}(\theta )\]