単位円(半径1の円)の中心から円周へ直線を引き、それによって作られる以下の直角三角形を用いて、三角関数(fcosθ、fsinθ、ftanθ)を次のように定義すると、三角関数の数学的利用価値が上がります。
通常の三角関数では、θの範囲は0°〜90°ですが、単位円を使って三角関数を定義すると、θを0°〜360°に拡張できます。
fcosθは、x座標を表しているため、点aをぐるぐる回すと以下のように、ー1〜1の範囲で連続的に値が振動します。
fsinθは、y座標を表しているため、点aをぐるぐる回すと以下のように、ー1〜1の範囲で連続的に値が振動します。
一方、ftanθは、点aをぐるぐる回しても、ー1〜1の範囲で連続的に値は振動しません。
・
冒頭の公式から導けます。
・fcos^[2]]θ+fsin^[2]]θ=1
冒頭の単位円が作る直角三角形の3辺の関係をピタゴラスの定理を使って表したものです。
・
とfcos^[2]]θ+fsin^[2]]θ=1から導出できます。
・fcos(ーθ )=fcosθ
上記のアニメーションから点aを逆向きに回してもfcosθと値が同じことが分かります。
・fsin(ーθ )=ーfsinθ
上記のアニメーションから点aを逆向きに回すとfsinθの値が反転することが分かります。
・ftan(ーθ )=ーftanθ
なので、
となります。
・fcos(θ+90°)=ーfsinθ、fsin(θ+90°)=fcosθ
これらは、以下の波形から分かります。赤がfcosθ、青がfsinθです。