標本平均の標準誤差\(\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)の導出方法を説明します。
まず、ある標本の\(n\)個の標本値を確率変数\(X_1, X_2, \cdots , X_n\)で表した場合、標本平均は、\(\displaystyle\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}\)と表せます。
よって、標本平均の分散は、確率変数の分散より、以下のように表せます。
\[\mathrm{Var}\left ( \frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n} \right )\]
以下のように変形します。
\[=\frac{1}{n^2}\mathrm{Var}\left (X_1+X_2+\cdots +X_n \right)\]
分散の加法性を使って、以下のように変形します。
\[=\frac{1}{n^2}(\mathrm{Var}(X_1)+\mathrm{Var}(X_2)+\cdots +\mathrm{Var}(X_n))\]
母集団の標準偏差を\(\sigma\)とした場合、母集団の分散は\(\sigma^2\)となります。また、任意の標本値\(X_i\)に対して、\(\mathrm{Var}(X_i)=\sigma^2\)となります。よって、上記の式は、以下のように表せます。
\[=\frac{1}{n^2}n\sigma^2\]
\[=\frac{\sigma^2}{n}\]
よって、標本平均の分散は、\(\displaystyle\frac{\sigma^2}{n}\)です。分散の平方根が標準偏差なので、標本平均の標準偏差は、\(\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)となります。これは、標本平均という統計量の標準偏差なので、標本平均の標準誤差です。
導出できました。