楕円軌道で運動する惑星の運動方程式

太陽の周りを楕円軌道で回る惑星の運動方程式は、時刻tにおける太陽を原点とした惑星の2次元の極座標をr（t)とθ（t)、惑星の質量をmとした場合、以下のニュートンの運動方程式で表せます。

θで.力.の向きを表しているため、F_[r]]（t)は、ベクトルの大きさを表します。

導出方法

惑星は、太陽を原点に回転運動するため、惑星の加速度を2次元の極座標上で表現すると、以下になります。（2次元の極座標上での加速度の表現方法より）

一方、惑星の面積速度は、以下です。

がa_[θ]]（t)の式に含まれていることが分かります。よって、a_[θ]]（t)の式にを代入します。

ケプラーの第2法則から惑星の面積速度は一定なので、2dS/dtは、時刻tによらず、一定となります。よって、2dS/dtをtで微分すると、0になります（=0）。

a_[θ]]（t)=0であることが分かりました。よって、惑星の楕円運動に存在する加速度は、a_[r]]（t)のみであることが分かりました。すると、惑星の質量をmとすると、惑星の楕円運動のニュートンの運動方程式は、ma_[r]]（t)=F_[r]]（t)となります。

冒頭の式を導出できました。