連鎖律とは、合成関数の微分を行う際に利用できる手法のことです。
例えば、合成関数fff(g（x))の微分は、連鎖律で以下のように行えます。
\[\left ( f(g(x)) \right )'=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}\]
これが連鎖律です。
同様に、合成関数fff(g（h（x)))の微分は、連鎖律で以下のように行えます。
\[\left ( f(g(h(x)) \right )'=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dh}\frac{dh}{dx}\]
例えば、fff(x)=(x^[2]]+3x+4)^[5]]の微分f'(x)を連鎖律で行なってみます。
まず、g（x)=x^[2]]+3x+4と置きます。すると、fff(g)=g^[5]]が得られます。それぞれ微分すると以下になります。
df/dg =5g^[4]]
dg/dx =2x+3
連鎖律を使って、df/dxを求めると以下になります。
df/dx=df/dg ・dg/dx =5g^[4]]・(2x+3)
gにx^[2]]+3x+4を代入します。
=5(x^[2]]+3x+4)^[4]]・(2x+3)
f'(x)が求められました。
合成関数fff(g（x))の微分は、連鎖律を使って以下のように表せます。
\[\left ( f(g(x)) \right )'=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}\]
\[=\displaystyle \lim_{\Delta g \to 0}\frac{f(g+\Delta g)-f(g)}{\Delta g}\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\]
Δg=g（x+Δx)-g（x)、g=g（x)と言えるので、以下のように変形します。
\[=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}\displaystyle \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\]
約分します。
\[=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle \frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}\]
fff(g（x))の導関数が得られました。よって、連鎖律は成り立っています。