内積の幾何学的な定義である以下の式が成り立つことを証明します。
vec[a]]・vec[b]]=||vec[a]]||||vec[b]]||fcos(θ)
まず、ベクトルvec[a]]からvec[b]]を引いて、赤線のベクトルを作ります。
余弦定理を使って、以下の関係式を作ります。
\[||\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}||^{2}=||\boldsymbol{a}||^{2}+||\boldsymbol{b}||^{2}-2||\boldsymbol{a}||||\boldsymbol{b}||\mathrm{cos}(\theta) \]
以下のように整理します。
\[||\boldsymbol{a}||||\boldsymbol{b}||\mathrm{cos}(\theta)=\frac{||\boldsymbol{a}||^{2}+||\boldsymbol{b}||^{2}-||\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}||^{2}}{2}\]
ベクトルvec[a]]とvec[b]]をn次元ベクトルとして、右辺のそれぞれのベクトルの大きさ（||vec[a]]||と||vec[b]]||と||vec[a]]-vec[b]]||）を求めます。
\[=\frac{(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})+(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots +b_{n}^{2})-((a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2})}{2}\]
括弧を展開します。
\[=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\]
右辺が内積の式になりました。よって、左辺の||vec[a]]||||vec[b]]||fcos(θ)は内積であり、内積の幾何学的な定義を証明できました。