cos波とsin波の足し合わせで作る単純な波を表す式の証明

cos波とsin波の足し合わせで作る単純な波を表す式の証明をします。

cos波で表現された合成波の証明

以下の式を証明します。

\(B\geq 0\)の場合、

\[A\mathrm{cos}(\omega t)+B\mathrm{sin}(\omega t)=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\,\mathrm{cos}\left (\omega t-\mathrm{arccos}\left ( \displaystyle \frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \right ) \right )\]

cos関数の加法定理を使って、右辺を以下のように変形します。

\[=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\left ( \displaystyle \frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \mathrm{cos}(\omega t) +\mathrm{sin}\left (\mathrm{arccos}\left ( \displaystyle \frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\right )\right )\mathrm{sin}(\omega t) \right )\]

逆三角関数の基本公式より、\(\mathrm{sin}(\mathrm{arccos}(x))=\sqrt{1-x^{2}}\)なので、以下のように変形します。

\[=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\left ( \displaystyle \frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \mathrm{cos}(\omega t) +\displaystyle \frac{|B\,|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\mathrm{sin}(\omega t) \right )\]

括弧を展開します。

\[=A\mathrm{cos}(\omega t)+|B\,|\mathrm{sin}(\omega t)\]

このとき、\(B\geq 0\)なので、以下になります。

\[A\mathrm{cos}(\omega t)+|B\,|\mathrm{sin}(\omega t)=A\mathrm{cos}(\omega t)+B\mathrm{sin}(\omega t)\]

同様に、\(B<0\)のとき、\(\sqrt{A^{2}+B^{2}}\,\mathrm{cos}\left (\omega t+ \mathrm{arccos}\left ( \displaystyle \frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \right ) \right )\)は、\(A\mathrm{cos}(\omega t)-|B\,|\mathrm{sin}(\omega t)\)と変形できます。

このとき、\(B<0\)なので、以下になります。

\[A\mathrm{cos}(\omega t)-|B\,|\mathrm{sin}(\omega t)=A\mathrm{cos}(\omega t)+B\mathrm{sin}(\omega t)\]

sin波で表現された合成波の証明

以下の式を証明します。

\(A\geq 0\)の場合、

\[A\mathrm{cos}(\omega t)+B\mathrm{sin}(\omega t)=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\,\mathrm{sin}\left (\omega t+\mathrm{arccos}\left ( \displaystyle \frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \right ) \right )\]

sin関数の加法定理を使って、右辺を以下のように変形します。

\[\sqrt{A^{2}+B^{2}}\left ( \displaystyle \frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \mathrm{sin}(\omega t) +\mathrm{sin}\left (\mathrm{arccos}\left ( \displaystyle \frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\right )\right )\mathrm{cos}(\omega t) \right )\]

逆三角関数の基本公式より、\(\mathrm{sin}(\mathrm{arccos}(x))=\sqrt{1-x^{2}}\)なので、以下のように変形します。

\[=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\left ( \displaystyle \frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \mathrm{sin}(\omega t) +\displaystyle \frac{|A\,|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\mathrm{cos}(\omega t) \right )\]

括弧を展開します。

\[=|A\,|\mathrm{cos}(\omega t)+B\mathrm{sin}(\omega t)\]

このとき、\(A\geq 0\)なので、以下になります。

\[|A\,|\mathrm{cos}(\omega t)+B\mathrm{sin}(\omega t)=A\mathrm{cos}(\omega t)+B\mathrm{sin}(\omega t)\]

同様に、\(A<0\)のとき、\(\sqrt{A^{2}+B^{2}}\,\mathrm{sin}\left (\omega t- \mathrm{arccos}\left ( \displaystyle \frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \right ) \right )\)は、\(-|A\,|\mathrm{cos}(\omega t)+B\mathrm{sin}(\omega t)\)と変形できます。

このとき、\(A<0\)なので、以下になります。

\[-|A\,|\mathrm{cos}(\omega t)+B\mathrm{sin}(\omega t)=A\mathrm{cos}(\omega t)+B\mathrm{sin}(\omega t)\]