ベクトルvec[a]]の大きさは、||vec[a]]||と表現されます。
2次元ベクトルvec[a]]=(a_[[1]], a_[[2]])の大きさは、以下の計算で求められます。
\[||\boldsymbol{a}||=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\]3次元ベクトルvec[a]]=(a_[[1]], a_[[2]], a_[[3]])の大きさは、以下の計算で求められます。
\[||\boldsymbol{a}||=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\]n次元ベクトルvec[a]]=(a_[[1]], a_[[2]],…, a_[[n]])の大きさは、以下の計算で求められます。
\[||\boldsymbol{a}||=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}\]
2次元ベクトル(a_[[1]], a_[[2]])は、vec[x]]=(a_[[1]], 0)、vec[y]]=(0, a_[[2]])とした場合、vec[x]]+vec[y]]と表せます。
以下の直角三角形において、b辺の長さは|| vec[x]] ||=a_[[1]]、c辺の長さは|| vec[y]] ||=a_[[2]]、a辺の長さは|| vec[x]]+vec[y]] ||と言えます。
よって、ピタゴラスの定理を使って、\(||\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}||=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\)となります。
3次元ベクトル(a_[[1]], a_[[2]], a_[[3]])は、vec[x]]=(a_[[1]], 0, 0)、vec[y]]=(0, a_[[2]], 0)、vec[z]]=(0, 0, a_[[3]])とした場合、vec[x]]+vec[y]]+vec[z]]と表せます。
このとき、3次元空間上でvec[x]]+vec[y]]とvec[z]]は、直角に交わります。
よって、以下の直角三角形において、b辺の長さは\(||\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}||=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\)、c辺の長さは|| vec[z]] ||=a_[[3]]、a辺の長さは|| vec[x]]+vec[y]]+vec[z]] ||と言えます。
よって、ピタゴラスの定理を使って、\(||\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}||=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\)となります。
3次元ベクトルの大きさの導出方法と同じ手順で4次元ベクトルの大きさを導出できます。
同様の導出を繰り返すことでn次元ベクトルの大きさを導出できます。