減衰率付き微分回路（デジタルフィルタ）

減衰率付き微分回路とは、zの領域で以下のように図式化できるデジタルフィルタのことです。デジタルフィルタの微分回路のー1倍を減衰率Bに変えたものです。なお、減衰率なのでー1＜B＜＝0とします。

減衰率付き微分回路は時間領域で1サンプル毎に以下の計算を行うことにより、実現できます。___buf__は、1サンプル前のx_[i]]を格納する変数で初期値は0です。

y_[i]]=x_[i]]+___buf__・B

___buf__=x_[i]]

減衰率付き微分回路の伝達関数

減衰率付き微分回路のデジタルフィルタの伝達関数H（z)を求めてみます。まず、zの領域での関係式は以下になります。

Y（z)=X（z)+X（z) z^[ー1]] B

左辺がになるように式を整理すると以下になります。

=1+B z^[ー1]]

伝達関数H（z)が求まりました。

上記の伝達関数H（z)を使って、減衰率付き微分回路の周波数特性を調べます。

まず、H（z)を周波数領域の関数H（ f )に変換し、さらにオイラーの公式を使って、fcosとfsinの式に変形します。

H（ f )の実部と虚部が求まりました。

実部と虚部を使った複素数平面上の座標(___Re__（H（ f )) , ___Im__（H（ f )))を2次元の極座標(r_[f]] , θ_[[f]])に変換します。

なお、r_[f]]の導出過程において、三角関数の基本公式fcos^[2]]θ+fsin^[2]]θ=1を利用しています。

減衰率Bをー0.998、fsを48___kHz__、fを周波数の対数スケール、振幅倍率であるr_[f]]を電圧比のデシベルでグラフにすると以下になります。

r_[f]]はf=0のとき、ー1＜B＜＝0の条件で以下の式が成り立ちます。

よって、f=0の振幅倍率は、B+1で求められることが分かります。B=ー0.998でB+1を求めると、0.002倍となり、電圧比のデシベルに換算すると、約ー54 ___dB__で上記のグラフとも一致します。

減衰率Bをー0.998、fsを48___kHz__、fを周波数の対数スケールで位相θ_[f]]をグラフにすると以下になります。

位相が±90°以内なので、でも良いです。