偶数個の\(N\)個のデータで構成される離散時間信号\(x[n]\)が前半のデータと後半のデータで線対称となる場合、以下の式で離散フーリエ変換を行えます。
\[X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cos \left ( 2\pi\frac{k}{N}(n + 0.5) \right )\]
まず、離散フーリエ変換は、以下です。
\[X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i2\pi\frac{k}{N}n}\]
オイラーの公式を使って、以下のように変形します。
\[= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \left ( \cos \left ( 2\pi\frac{k}{N}n \right ) - i\sin \left ( 2\pi\frac{k}{N}n \right ) \right )\]
さらに括弧を展開します。
\[= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cos \left ( 2\pi\frac{k}{N}n \right ) -i \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \sin \left ( 2\pi\frac{k}{N}n \right )\]
ここで、以下のように修正します。
\[= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cos \left ( 2\pi\frac{k}{N}(n + 0.5) \right ) -i \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \sin \left ( 2\pi\frac{k}{N}(n + 0.5) \right )\]
この修正により、\(N\)が偶数であれば、\(\cos \left ( 2\pi\displaystyle\frac{k}{N}(n + 0.5) \right )\)は、\(n=N/2\)を対称軸とした線対称になります。そして、\(N\)が偶数であれば、\(\sin \left ( 2\pi\displaystyle\frac{k}{N}(n + 0.5) \right )\)は、\(n=N/2\)を中心とした点対称になります。
偶数個の\(N\)個のデータで構成される離散時間信号\(x[n]\)が前半のデータと後半のデータで線対称であれば、\(\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} x[n] \sin \left ( 2\pi\frac{k}{N}(n + 0.5) \right )\)が0になることが直感的に理解できます。
よって、以下の式が導出できます。
\[X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cos \left ( 2\pi\frac{k}{N}(n + 0.5) \right )\]