フーリエ級数とは、周期的な波\(f(t)\)を以下の無限級数で表したものです。
\[f(t)=\sum_{n=0}^{\infty }(a_{n}\mathrm{cos}(n\omega_0 t)+b_{n}\mathrm{sin}(n\omega_0 t))\]
一般的には、n=0の項を無限級数の外に出して、以下のように表現されます。
\[f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}\mathrm{cos}(n\omega_0 t)+b_{n}\mathrm{sin}(n\omega_0 t))\]
周期的であれば、どんな複雑な波でもフーリエ級数で表せます。
a_[0]]の部分は、周期的な波の直流成分を表しています。
a_[[n]]fcos(nω_[0]]t)+b_[[n]]fsin(nω_[0]]t)の部分は、cos波とsin波の足し合わせで作る単純な波です。さらに、n=1のとき、基本波、\(n>1\)のとき、高調波を表しています。
よって、周期的な波の交流成分の性質より、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}\mathrm{cos}(n\omega_0 t)+b_{n}\mathrm{sin}(n\omega_0 t))\)は、周期的な波の交流成分を表しています。
なお、\(a_{n}\)や\(b_{n}\)のことをフーリエ係数と呼びます。
フーリエ級数の任意の単純な波a_[[n]]fcos(nω_[0]]t)+b_[[n]]fsin(nω_[0]]t)は、cos波とsin波の足し合わせで作る単純な波より、以下のように表せます。
cos波で表現し、\(b_n\geq 0\)の場合、
\[\sqrt{a_n^{2}+b_n^{2}}\,\mathrm{cos}\left (n\omega_{0} t-\mathrm{arccos}\left ( \frac{a_n}{\sqrt{a_n^{2}+b_n^{2}}} \right ) \right )\]
cos波で表現し、\(b_n<0\)の場合、
\[\sqrt{a_n^{2}+b_n^{2}}\,\mathrm{cos}\left (n\omega_{0} t+\mathrm{arccos}\left ( \frac{a_n}{\sqrt{a_n^{2}+b_n^{2}}} \right ) \right )\]
sin波で表現し、\(a_n\geq 0\)の場合、
\[\sqrt{a_n^{2}+b_n^{2}}\,\mathrm{sin}\left (n\omega_{0} t+\mathrm{arccos}\left ( \frac{b_n}{\sqrt{a_n^{2}+b_n^{2}}} \right ) \right )\]
sin波で表現し、\(a_n<0\)の場合、
\[\sqrt{a_n^{2}+b_n^{2}}\,\mathrm{sin}\left (n\omega_{0} t-\mathrm{arccos}\left ( \frac{b_n}{\sqrt{a_n^{2}+b_n^{2}}} \right ) \right )\]
よって、フーリエ級数の任意の単純な波a_[[n]]fcos(nω_[0]]t)+b_[[n]]fsin(nω_[0]]t)の振幅は\(\sqrt{a_n^{2}+b_n^{2}}\)、位相はcos波で表現するか、sin波で表現するかで上記のように変わります。