以下の離散時間フーリエ変換の周期性を証明します。
\[X(\hat{f})=X(\hat{f}+1)\]
まず、離散時間フーリエ変換の式を準備します。
\[X(\hat{f}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-i2\pi \hat{f}n}\]
\(X(\hat{f}+1)\)は、以下のように表せます。
\[X(\hat{f}+1) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-i2\pi (\hat{f}+1)n}\]
指数法則を使って、以下のように変形します。
\[=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-i2\pi \hat{f}n}e^{-i2\pi n}\]
\(n\)は整数なので、\(e^{-i2\pi n}=1\)です。
\[=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-i2\pi \hat{f}n}\]
\[=X(\hat{f})\]
証明できました。