n次元ベクトルの列ベクトルを\(\boldsymbol{v}\)、\(m\)行\(n\)列の行列を\(A\)とした場合、幾何ベクトルの線形写像は、\(A\boldsymbol{v}\)と表せます。
以下は、3次元ベクトル空間から2次元ベクトル空間への線形写像です。
\[A\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ \end{pmatrix}\]
以下は、2次元ベクトル空間から3次元ベクトル空間への線形写像です。
\[A\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \\ \end{pmatrix}\]
以下は、2次元ベクトル空間から2次元ベクトル空間への線形写像です。
\[A\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \\ \end{pmatrix}\]