離散フーリエ変換（Discrete Fourier Transform, DFT）とは、離散時間信号\(x[n]\)の\(n\)の範囲を\(0\sim N-1\)とした場合、離散時間フーリエ変換により得られる連続的な複素スペクトルの1周期を\(N\)個に離散化したフーリエ変換のことです。
離散フーリエ変換\(X[k]\)は、以下のように表せます。
\[X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i2\pi\frac{k}{N}n}\]
このとき、\(k\)の範囲は、\(0\sim N-1\)です。
離散フーリエ変換では、\(N\)個で構成される離散時間信号を\(N\)個で構成される複素スペクトルに変換します。
なお、\(N\)を大きくすればするほど、元の複素スペクトルを正確に表現できます。
まず、離散時間フーリエ変換の式を用意します。
\[X(\hat{f}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-i2\pi \hat{f}n}\]
\(x[n]\)は、\(0\leq n\leq N-1\)以外で0と仮定すると以下のように変形できます。
\[X(\hat{f}) = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i2\pi \hat{f}n}\]
離散時間フーリエ変換の周期性より、離散時間フーリエ変換により得られる複素スペクトルの周期は1なので、\(\hat{f}\)を\(\displaystyle\frac{k}{N}\)に置き換えます。\(k\)の範囲は、\(0\sim N-1\)です。
\[X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i2\pi\frac{k}{N}n}\]
離散フーリエ変換の式を導出できました。