遅延した波のフーリエ変換

ある波の関数を\(g(t)\)とした場合、\(t_0\)遅延した波は、\(g(t-t_0)\)と表せます。

\(g(t)\)のフーリエ変換を\(G(f)\)とした場合、この遅延した波をフーリエ変換すると、\(G(f)e^{-i2\pi ft_0}\)と表せます。

よって、周波数領域で\(e^{-i2\pi ft_0}\)を掛けると、時間領域で波を\(t_0\)遅延させることができます。

証明

まず、フーリエ変換の式は、以下です。

\[G(f)=\int_{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-i2\pi ft}dt\]

右辺の\(t\)を\(t+t_0\)にします。

\[\int_{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-i2\pi f(t+t_0)}dt\]

指数法則を利用して、以下のように変形します。

\[=\int_{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-i2\pi ft}e^{-i2\pi ft_0}dt\]

\(e^{-i2\pi ft_0}\)は\(t\)を含まないため、定積分の外に出します。

\[=\left ( \int_{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-i2\pi ft}dt \right )e^{-i2\pi ft_0}\]

よって、以下になります。

\[=G(f)e^{-i2\pi ft_0}\]

証明できました。