ネイピア数（e）

ネイピア数（e）とは、以下の式で表される数のことです。

ネイピア数を使った指数関数e^[x]]は、微分してもe^[x]]のままであるという性質があります。つまり、a^[x]]を微分するとa^[x]]となるようにaを調整したものがネイピア数です。

なお、ネイピア数は、以下のように表すこともできます。

また、ネイピア数はe=2.71828…のように無限に続く小数です。

ネイピア数の導出方法

a^[x]]を微分してもa^[x]]となるようなaを探してみます。

まず、導関数の式は以下です。

をfff(x)=a^[x]]で展開します。

を変形します。

でくくります。

はΔxを含まないため、limの外に出せます。

が1になれば、a^[x]]を微分してもa^[x]]になります。なので、今度は以下の式を解いていきます。

両辺にΔxを掛けます。このとき、Δxは極限値なので以下のように右辺にもlimが必要になります。

を右辺に移項します。このとき、以下のように1+Δxの順番にしておきます。Δxよりも1の方が大きいので、1から並べた方が直感的であるためです。

両辺を乗します。

は、a^[1]]=aとなり、Δxがなくなるため、を左辺から削除することができます。

このときのaがネイピア数（e）となります。

ネイピア数を用いた指数関数の表記方法

e^[x]]は、___exp__ (x)と表すこともできます。