オイラーの公式は、\(e^{ix}\)とfcos(x)+i fsin(x)のマクローリン級数が一致することで証明します。
まず、\(e^{ix}\)をマクローリン展開すると以下になります。
\[e^{ix}=1+ix-\frac{1}{2!}x^{2}-i\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{4!}x^{4}+i\frac{1}{5!}x^{5}+\cdots \]
続いて、fcos(x)をマクローリン展開すると以下になります。
\[\mathrm{cos}(x)=1-\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{4!}x^{4}+\cdots \]
fsin(x)をマクローリン展開すると以下になります。
\[\mathrm{sin}(x)=x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}+\cdots \]
よって、fcos(x)+i fsin(x)は、以下のように表せます。
\[\mathrm{cos}(x)+i\mathrm{sin}(x)=1+ix-\frac{1}{2!}x^{2}-i\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{4!}x^{4}+i\frac{1}{5!}x^{5}+\cdots \]
\(e^{ix}=\mathrm{cos}(x)+i\mathrm{sin}(x)\)であることを証明できました。