角周波数でのフーリエ変換

角周波数ωでフーリエ変換した場合、フーリエ変換とフーリエ逆変換は、以下になります。

フーリエ変換

フーリエ逆変換

以下のように表現する場合もあります。

フーリエ変換

フーリエ逆変換

角周波数でのフーリエ変換は、時間領域から角周波数領域への変換となります。

導出方法

まず、フーリエ変換とフーリエ逆変換の式は、以下です。

フーリエ逆変換の式にフーリエ変換の式を代入します。

f=ω/2πと置き、置換積分します。

1/2πを定積分の外に出します。

内側の定積分をフーリエ変換G（ω)として取り出します。

取り出された方は、フーリエ逆変換であり、以下になります。

続いて、G（ω)の右辺を倍します。

角周波数領域で倍したため、時間領域で倍します。

冒頭の4つの式を導出できました。