行列\(A\)を用いた幾何ベクトルの線形写像は、線形写像するベクトルの標準基底となるベクトル\(\boldsymbol{e}_i\)を行列\(A\)の第\(i\)列ベクトルに写像（ベクトルの写像）します。
例えば、標準基底の線形結合で表現された2次元ベクトル\(\boldsymbol{v}=v_{1}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+v_{2}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\)を\(A=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & b_n \\ \end{pmatrix}\)で線形写像すると、以下になります。
\[A\boldsymbol{v}=v_{1}\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}+v_{2}\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}\]
よって、\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}\)が\(\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}\)に、\(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\)が\(\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}\)に写像されています。
例えば、2次元ベクトル空間の標準基底を\(\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\)とした場合、任意の2次元ベクトルは、\(\boldsymbol{v}=v_1 \boldsymbol{e}_1+v_2 \boldsymbol{e}_2\)と表せます。
幾何ベクトルの線形写像を\(A\boldsymbol{v}\)とした場合、線形性により、以下のように表現できます。
\[A\boldsymbol{v}=v_{1}A\boldsymbol{e}_{1}+v_{2}A\boldsymbol{e}_{2}\]
標準基底を列ベクトルで表現し、\(A=\begin{pmatrix} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2}\\ \vdots & \vdots \\ a_n & b_n \end{pmatrix}\)と置き換えると以下になります。
\[=v_{1}\begin{pmatrix} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2}\\ \vdots & \vdots \\ a_n & b_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+v_{2}\begin{pmatrix} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2}\\ \vdots & \vdots \\ a_n & b_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\]
行列同士の掛け算を解きます。
\[=v_{1}\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}+v_{2}\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}\]
証明できました。