三角関数の倍角公式を証明します。
cos関数の加法定理を使って、fcos(θ+θ)を求めます。
fcos(θ+θ)=fcos(θ) fcos(θ)-fsin(θ) fsin(θ)
＝(fcos(θ))^[2]]-(fsin(θ))^[2]]
fcos(θ+θ)は、fcos(2θ)なので、1個目のcos関数の倍角公式を証明できました。
次に、三角関数の基本公式を変形して作った(fsin(θ))^[2]]=1-(fcos(θ))^[2]]を上式に代入します。
＝(fcos(θ))^[2]]-(1-(fcos(θ))^[2]])=2(fcos(θ))^[2]]-1
2個目のcos関数の倍角公式も証明できました。
最後に、三角関数の基本公式を変形して作った(fcos(θ))^[2]]=1-(fsin(θ))^[2]]を上式に代入します。
＝2(1-(fsin(θ))^[2]])-1=1-2(fsin(θ))^[2]]
3個目のcos関数の倍角公式も証明できました。
sin関数の加法定理を使って、fsin(θ+θ)を求めます。
fsin(θ+θ)=fsin(θ) fcos(θ)+fcos(θ) fsin(θ)
＝2fsin(θ) fcos(θ)
fsin(θ+θ)は、fsin(2θ)なので、sin関数の倍角公式を証明できました。
tan関数の加法定理を使って、ftan(θ+θ)を求めます。
\[\tan(\theta +\theta )=\frac{\tan(\theta )+\tan(\theta )}{1-\tan(\theta )\tan(\theta )}\]
\[=\frac{2\tan(\theta )}{1-(\tan(\theta ))^{2}}\]
ftan(θ+θ)は、ftan(2θ)なので、tan関数の倍角公式を証明できました。