例えば、符号拡張を用いた4ビットの符号ビット付き2進数abcdとefghの掛け算は、以下のように簡略化できます。なお、赤字はビットNOTとします。
abcd
× efgh
---------------------------------
+ 1 |a×h|b×h|c×h|d×h|
+ |a×g|b×g|c×g|d×g|
+ |a×f|b×f|c×f|d×f|
+ 1 |a×e|b×e|c×e|d×e|
---------------------------------abcd = 1101（10進数で-3）、efgh = 0101（10進数で5）とすると、上記の計算式を使って、以下のように計算できます。
1101
× 0101
---------------------------------
+ 1 |1×1|1×1|0×1|1×1|
+ |1×0|1×0|0×0|1×0|
+ |1×1|1×1|0×1|1×1|
+ 1 |1×0|1×0|0×0|1×0|
---------------------------------それぞれの掛け算を解きます。
1101
× 0101
----------
+ 11101
+ 0000
+ 1101
+ 10000
----------ビットNOTを解きます。
1101
× 0101
----------
+ 10101
+ 1000
+ 0101
+ 10111
----------
11110001答えは、11110001（10進数で-15）です。
上記は、4ビットの例ですが、nビットの場合は、以降で説明する導出方法で同様に導出できます。
4ビットの符号ビット付き2進数abcdとefghの掛け算を符号拡張して行うと、以下になります。
aaaaabcd
× eeeeefgh
---------------------------------------------------------------
+ |a×h|a×h|a×h|a×h|a×h|b×h|c×h|d×h|
+ |a×g|a×g|a×g|a×g|a×g|b×g|c×g|d×g|
+ |a×f|a×f|a×f|a×f|a×f|b×f|c×f|d×f|
+ |a×e|a×e|a×e|a×e|a×e|b×e|c×e|d×e|
+ |a×e|a×e|a×e|a×e|a×e|b×e|c×e|d×e|
+ |a×e|a×e|a×e|a×e|a×e|b×e|c×e|d×e|
+ |a×e|a×e|a×e|a×e|a×e|b×e|c×e|d×e|
+ |a×e|a×e|a×e|a×e|a×e|b×e|c×e|d×e|
---------------------------------------------------------------答えは、下位8ビットとなるため、上位8ビットを削除します。
aaaaabcd
× eeeeefgh
-----------------------------------
+ |a×h|a×h|a×h|a×h|a×h|b×h|c×h|d×h|
+ |a×g|a×g|a×g|a×g|b×g|c×g|d×g|
+ |a×f|a×f|a×f|b×f|c×f|d×f|
+ |a×e|a×e|b×e|c×e|d×e|
+ |a×e|b×e|c×e|d×e|
+ |b×e|c×e|d×e|
+ |c×e|d×e|
+ |d×e|
-----------------------------------青字の|a×h|a×h|a×h|a×h|a×h|は、00000か11111です。よって、|a×h|a×h|a×h|a×h|a×h|に1を足すと、00001か100000になります。100000の6ビット目は、削除した上位8ビットに入るため、00000になります。
なので、|a×h|a×h|a×h|a×h|a×h|に1を足すと、00001か00000になります。このとき、a×hの値によらず、2から5ビット目は、0なので、|a×h|a×h|a×h|a×h|a×h|に1を足すと、1か0と言えます。
これを正確に説明すると、|a×h|a×h|a×h|a×h|a×h|に1を足すと、a×h = 0のとき、1、a×h = 1のとき、0になります。つまり、|a×h|a×h|a×h|a×h|a×h|に1を足すと、a×hのビットNOTになると言えます。
この仕組みを使って、青字の|a×h|a×h|a×h|a×h|a×h|を書き換えると、以下になります。なお、ここでは、ビットNOTを赤字で表すこととします。
aaaaabcd
× eeeeefgh
-----------------------------------
+ |a×h|b×h|c×h|d×h|
+ |a×g|a×g|a×g|a×g|b×g|c×g|d×g|
+ |a×f|a×f|a×f|b×f|c×f|d×f|
+ |a×e|a×e|b×e|c×e|d×e|
+ |a×e|b×e|c×e|d×e|
+ |b×e|c×e|d×e|
+ |c×e|d×e|
+ |d×e|
- 1
-----------------------------------4ビット目で1を引いているのは、青字の|a×h|a×h|a×h|a×h|a×h|に1を足したためです。
同様に、以下のように書き換えます。
aaaaabcd
× eeeeefgh
-----------------------------------
+ |a×h|b×h|c×h|d×h|
+ |a×g|b×g|c×g|d×g|
+ |a×f|b×f|c×f|d×f|
+ |a×e|b×e|c×e|d×e|
+ |a×e|b×e|c×e|d×e|
+ |b×e|c×e|d×e|
+ |c×e|d×e|
+ |d×e|
- 1 1 1 1 1
-----------------------------------青字のd×eも同様にビットNOTを用いて、以下のように書き換えます。
aaaaabcd
× eeeeefgh
-----------------------------------
+ |a×h|b×h|c×h|d×h|
+ |a×g|b×g|c×g|d×g|
+ |a×f|b×f|c×f|d×f|
+ |a×e|b×e|c×e|d×e|
+ |a×e|b×e|c×e|
+ |b×e|c×e|
+ |c×e|
- 1 1 1 1 1
- 1
-----------------------------------青字のb×eとc×eに対しても同じことをします。
aaaaabcd
× eeeeefgh
-----------------------------------
+ |a×h|b×h|c×h|d×h|
+ |a×g|b×g|c×g|d×g|
+ |a×f|b×f|c×f|d×f|
+ |a×e|b×e|c×e|d×e| ●
+ |a×e| ●
- 1 1 1 1 1
- 1 1 1
-----------------------------------●の行を足して、一つの行にします。
aaaaabcd
× eeeeefgh
-----------------------------------
+ |a×h|b×h|c×h|d×h|
+ |a×g|b×g|c×g|d×g|
+ |a×f|b×f|c×f|d×f|
+ |a×e|a×e|b×e|c×e|d×e|
- 1 1 1 1 1
- 1 1 1
-----------------------------------|a×e|a×e|に対しても同様にビットNOTを用いて、以下のように書き換えます。
aaaaabcd
× eeeeefgh
-----------------------------------
+ |a×h|b×h|c×h|d×h|
+ |a×g|b×g|c×g|d×g|
+ |a×f|b×f|c×f|d×f|
+ |a×e|b×e|c×e|d×e|
- 1 1 1 1 1
- 1 1 1 1
-----------------------------------引き算を2の補数で表現します。
aaaaabcd
× eeeeefgh
-----------------------------------
+ |a×h|b×h|c×h|d×h|
+ |a×g|b×g|c×g|d×g|
+ |a×f|b×f|c×f|d×f|
+ |a×e|b×e|c×e|d×e|
+ 0 0 0 0 1 ●
+ 1 0 0 0 1 ●
-----------------------------------●の行を足して、一つの行にします。
aaaaabcd
× eeeeefgh
-----------------------------------
+ |a×h|b×h|c×h|d×h|
+ |a×g|b×g|c×g|d×g|
+ |a×f|b×f|c×f|d×f|
+ |a×e|b×e|c×e|d×e|
+ 1 0 0 1 0 ▲
-----------------------------------▲の行の1を以下のように他の行に移動します。
aaaaabcd
× eeeeefgh
-----------------------------------
+ 1 |a×h|b×h|c×h|d×h|
+ |a×g|b×g|c×g|d×g|
+ |a×f|b×f|c×f|d×f|
+ 1 |a×e|b×e|c×e|d×e|
-----------------------------------導出できました。