ソレノイドの中心軸の磁場

1 ___m__当たりにn回巻いた無限に長いソレノイドが中心軸に作る磁場の強さは、ソレノイドに流す電流をI [___A__]とすると、nI [___N/Wb__]になります。

なお、適当な長さのソレノイドの場合は、中心軸の磁場の強さは、長さ方向の端付近以外は、nIで近似できます。

導出方法

微小間隔で巻いたソレノイドの1巻は、円形に流れる電流で近似できます。

よって、微小間隔で巻かれたソレノイドに流れる電流I [___A__]が点Aに作る磁場の強さは、円形に流れる電流が作る磁場において、円の中心から磁場の方向にz [___m__]離れた位置における磁場の強さH（z) [___N/Wb__]をある区間で足し合わせたものになります。

円形に流れる電流が作る磁場2より、円の半径をr [___m__]とすると、です。これをー∞＜z＜∞の範囲で定積分すると、以下になります。

上記の式は、H（z)・dzをー∞＜z＜∞の範囲でdz [___m__]間隔で足し合わせたものです。H（z)の足し合わせを求めたいので、dz=1とすると、H（z)をー∞＜z＜∞の範囲で1 ___m__間隔で足し合わせたものになります。

定積分するには、dzのままである必要があるので、定積分した後に、dz=1だったと考えると、1 ___m__当たりに1回巻いた無限に長いソレノイドが点Aに作る磁場の強さが求まります。

よって、1 ___m__当たりにn回巻いた無限に長いソレノイドが点Aに作る磁場の強さH [___N/Wb__]は、以下のように表せます。

定数を定積分の外に出して、分子の3/2乗をマイナスのべき乗にします。

と置いて、置換積分します。このとき、ftanθ=r/zなので、下図より、zの0~∞の範囲は、90°~0°（π/2~0）のθの範囲に置換されます。zのー∞~0の範囲は、z^[2]]の影響により、0~∞の結果と同じなので2倍します。

逆数の微分を利用して、となります。導出過程で三角関数の微分、三角関数の基本公式を利用します。

を通分して整理します。

を三角関数の基本公式とを利用して、整理します。

fsinθとrを約分します。

を定積分の外に出し、rを約分します。

三角関数の微分(fcosx)'=ーfsinxを利用して、積分します。

解きます。

導出できました。