固有方程式の導出方法を説明します。
まず、正方行列を\(A\)、その正方行列の固有ベクトルを\(\boldsymbol{v}\)、固有値を\(\lambda\)とした場合、以下が成り立ちます。
\[A\boldsymbol{v}=\lambda\boldsymbol{v}\]
単位行列の性質を利用して、以下のように変形します。
\[A\boldsymbol{v}=\lambda I \boldsymbol{v}\]
以下のように変形します。右辺は、ゼロベクトルです。
\[(A-\lambda I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}\]
ここで、\(A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}\)、\(\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}\)とした場合、上記の式は、以下になります。
\[\begin{pmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}\]
左辺の行列の掛け算を解きます。
\[\begin{pmatrix} (a-\lambda)x+by \\ cx+(d-\lambda )y\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}\]
よって、以下の連立1次方程式が成り立ちます。
\[\left\{\begin{matrix} \ (a-\lambda)x+by = 0\\ \ cx+(d-\lambda )y = 0\\ \end{matrix}\right.\]
固有ベクトル\(\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)は、性質上、ベクトルの大きさ違いが無数に存在するため、\(x\)と\(y\)の選択肢は、無数にあります。
ということは、上記の連立1次方程式の解も無数にあります。逆にいうと、上記の連立1次方程式は、一意の解を持ちません。よって、連立1次方程式が一意の解を持つか判定する方法より、\(\begin{pmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \\ \end{pmatrix}\)の行列式が0であれば、上記の連立1次方程式は、一意の解を持ちません。
\(\begin{pmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \\ \end{pmatrix}\)は、\(A-\lambda I\)なので、\(|A-\lambda I|=0\)が成り立てば、上記の連立1次方程式は、一意の解を持たず、冒頭の\(A\boldsymbol{v}=\lambda\boldsymbol{v}\)が成り立つと言えます。
固有方程式\(|A-\lambda I|=0\)を導出できました。