余弦定理であるa^[2]]=b^[2]]+c^[2]]-2bc fcos(α)が成り立つことを証明します。
まず、ピタゴラスの定理を使って、辺a、d、eの関係式を作ります。
a^[2]]=d^[ 2]]+e^[2]] （式1）
辺d、eを以下のように求めます。
d=b fsin(α)
e=c-b fcos(α)
上記の式を式1に代入します。
a^[2]]=(b fsin(α))^[ 2]]+(c-b fcos(α))^[2]]
括弧を展開します。
a^[2]]=b^[2]](fsin(α))^[2]]+c^[2]]-2bc fcos(α)+b^[2]](fcos(α))^[2]]
b^[2]]でくくります。
a^[2]]=b^[2]]((fsin(α))^[2]]+(fcos(α))^[2]])+c^[2]]-2bc fcos(α)
三角関数の基本公式の一つである(fsin(θ))^[2]]+(fcos(θ))^[2]]=1を利用して以下のように変形します。
a^[2]]=b^[2]]+c^[2]]-2bc fcos(α)
余弦定理を証明できました。