不定積分の視覚的な説明

不定積分は、微分の逆操作で行えますが、それを視覚的に説明します。

まず、ある関数fff(x)の不定積分の結果をF（x)+Cとした場合、F（x)+Cを微分した結果がfff(x)と言えます。

よって、F'(x)=fff(x)が成り立ちます。なお、積分定数Cは、微分すると0になるため、省略しています。

このとき、fff(x)は導関数と言えるので、以下の式が成り立ちます。

\[f(x)=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}\]

次に、両辺に\(\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\Delta x\)を掛けます。

\[\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\Delta x f(x)=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}(F(x+\Delta x)-F(x))\]

左辺は横幅Δx、高さfff(x)の長方形の面積、右辺はあるx座標からΔx変化させたときのF（x)の変化量になっています。

よって、fff(x)のグラフが以下だった場合、x座標が0からaの範囲の青色の面積は、F（a)となります。

なので、F（x)は、x座標が0からxまでのfff(x)のグラフの面積を表します。

ただし、F（x)で求まる面積は、以下のように象限によって面積の符号が異なります。

第4象限の面積の符号がマイナスなのはfff(x)の符号がマイナスであるため、「第2象限と第3象限」が「第1象限と第4象限」と比較して符号が反転しているのは、x座標を進める方向がマイナス方向であるためです。

なお、x座標が0からxまでの面積に、プラスとマイナスの面積を含む場合、それらの面積を足し合わせた面積となります。例えば、面積10−面積6=面積4などです。

F（x)がfff(x)の面積であることの証明

以下のfff(x)の青色の面積をF（x)と仮定します。xは変数なので青色の面積は固定されないのですが、説明の便宜上、ここでは固定します。

赤色の面積は、xをhだけ増加させた場合に増加する面積で、F（x+h)-F（x)と表すことができます。

次に、以下の2種類のグラフを見てください。

緑色の面積は赤色の面積よりも少し小さく、オレンジ色の面積は赤色の面積よりも少し大きいことが分かります。これらの面積の関係は、以下のようになります。

緑色の面積 < 赤色の面積 < オレンジ色の面積

そして、緑色の面積は、長方形の底辺×高さなのでh×fff(x)、オレンジ色の面積は同様に、h×fff(x+h)であることが分かります。ここまでで求めた緑色・赤色・オレンジ色の面積の大小関係を式にすると以下になります。

そして、全体をhで割ると以下になります。

さらに、h→0で極限値を求めると以下になります。

は、限りなくfff(x)なので結果的には、fff(x)に囲まれて、限りなくfff(x)であるということになります。つまり、以下の式が成り立ちます。

右辺がF（x)の導関数となっており、左辺はfff(x)になっています。よって、fff(x)の原始関数はF（x)であり、F（x)はfff(x)の面積を表していると言えます。