定積分

定積分とは、ある関数fff(x)の任意のx座標の区間の符号付き面積を求めることです。

例えば、fff(x)のグラフが以下で、x座標の区間がaからbだった場合、青色の面積が定積分で求まる面積です。

定積分は、ある関数fff(x)の原始関数をF（x)、x座標の区間をaからbとした場合、F（b)-F（a)で行えます。

よって、上記の青色の面積は、F（b)-F（a)と表せます。

なお、定積分を行う区間のことを積分区間と呼びます。上記では、aからbが積分区間です。

積分区間\(a\)から\(b\)は、通常、\([a, b]\)のように表記します。

F（b)-F（a)で定積分できる理由

不定積分の視覚的な説明より、F（x)は、x座標が0からxまでのfff(x)の面積を表します。

よって、積分区間がaからbであれば、面積F（b)から面積F（a)を引くことで積分区間の面積が求まります。

定積分における面積の符号

定積分により求まる面積の符号は、以下のようにx軸より上の面積はプラスの符号、x軸より下の面積はマイナスの符号となります。

定積分の表記方法

関数fff(x)の区間aからbの定積分は、以下のように表記されます。

\[\int_{a}^{b}f(x)dx\]

よって、fff(x)の原始関数をF（x)とした場合、以下が成り立ちます。

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\]

さらに、F（b)-F（a)は、\(\left [ F(x) \right ]_{a}^{b}\)という表記で表すこともできます。なので、以下が成り立ちます。

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=\left [ F(x) \right ]_{a}^{b}=F(b)-F(a) \]

実際に定積分してみる

を3から6の積分区間で定積分してみます。式は以下になります。

\[\int_{3}^{6}(x^{2}+2)dx\]

不定積分します。

\[=\left [ \frac{1}{3}x^{3}+2x+C \right ]_{3}^{6}\]

括弧[ ]を展開します。

\[=\frac{1}{3}6^{3}+2\cdot 6+C-\left ( \frac{1}{3}3^{3}+2\cdot 3+C \right )\]

\[=84-15=69\]

の積分区間が3から6の面積が69と求まりました。

なお、定積分においては、積分定数は上記のように必ず消えるので不定積分の際に積分定数Cを省略しても大丈夫です。