二項分布とは、二つの結果（通常「成功」と「失敗」と呼ばれる）しかもたない試行を特定の回数行ったときに、そのうちの「成功」が得られる回数を確率変数とした確率分布のことです。
例えば、成功確率が0.5の試行を50回行った場合、二項分布は、以下になります。
同様に、成功確率が0.3の試行を50回行った場合の二項分布を青、成功確率が0.7の試行を50回行った場合の二項分布を赤とした場合、以下になります。
二項分布の確率質量関数は、試行回数を\(n\)、成功回数を\(k\)、成功確率を\(p\)とした場合、組み合わせの数を使って、以下のように表せます。
\[P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\]
\(p^k(1-p)^{n-k}\)は、\(k\)回成功して\(n-k\)回失敗する確率です。
そして、\(k\)回成功して\(n-k\)回失敗する組み合わせの数が\(\displaystyle\binom{n}{k}\)回あるため、二項分布の確率質量関数は、上記の式になります。