行列式とは、正方行列の特定の性質を求めるための式のことです。
例えば、行列式を用いて、その正方行列が逆行列を持つかを判定することができます。
具体的には、正方行列の行列式の値が0でない場合、その行列は逆行列を持ちます。逆に、行列式の値が0である場合、その行列は逆行列を持ちません。
正方行列\(A\)の行列式は、\(|A|\)と表記します。
2次の正方行列\(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}\)の行列式は、以下です。
\[\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix}=ad-bc\]
3次の正方行列\(\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{pmatrix}\)の行列式は、以下です。
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{vmatrix}=aei+cdh+bfg-ceg-afh-bdi\]
ガウスの消去法で\(n\)次の正方行列の階段行列を求め、その階段行列の対角成分の掛け算が\(n\)次の正方行列の行列式となります。