cos関数とsin関数の複素指数表現

cos関数とsin関数の複素指数表現とは、cos関数とsin関数を複素指数関数を使って表現することです。

cos関数の複素指数表現は以下です。

\[\mathrm{cos}(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\]

sin関数の複素指数表現は以下です。

\[\mathrm{sin}(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\]

導出方法

オイラーの公式を使って、\(e^{-ix}\)を求めます。

\[e^{-ix}=\mathrm{cos}(-x)+i\mathrm{sin}(-x)\]

\[=\mathrm{cos}(x)-i\mathrm{sin}(x)\]

以下の二つの式を使って、冒頭の式を導出できます。

\[\left\{\begin{matrix} e^{ix}=\mathrm{cos}(x)+i\mathrm{sin}(x) \\ e^{-ix}=\mathrm{cos}(x)-i\mathrm{sin}(x) \end{matrix}\right.\]