フーリエ変換とフーリエ逆変換は、複素フーリエ級数の周期\(T\)を無限大にすることにより導出することができます。
まず、複素フーリエ級数と複素フーリエ係数を用意します。
\[g(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in\omega_0 t}\]
\[c_n=\displaystyle\frac{1}{T}\int_{0}^{T}g(\tau )e^{-in\omega _0\tau }d\tau \]
複素フーリエ級数に複素フーリエ係数を代入します。
\[g(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left ( \displaystyle\frac{1}{T}\int_{0}^{T}g(\tau )e^{-in\omega _0\tau }d\tau \right ) e^{in\omega_0 t}\]
以下の変形を行います。
・定積分の範囲を\(-\displaystyle\frac{T}{2}\sim \frac{T}{2}\)に変更する。
・\(\omega_0\)を\(\displaystyle\frac{2\pi}{T}\)に置き換える。
・\(\displaystyle \frac{1}{T}\)の位置を変更する。
\[g(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left ( \left ( \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(\tau )e^{-in\frac{2\pi}{T}\tau }d\tau \right ) e^{in\frac{2\pi}{T}t} \displaystyle\frac{1}{T} \right )\]
\(T \to \infty\)で極限値を求めます。
\[g(t) = \displaystyle \lim_{T \to \infty }\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left ( \left ( \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(\tau )e^{-in\frac{2\pi}{T}\tau }d\tau \right ) e^{in\frac{2\pi}{T}t} \displaystyle\frac{1}{T} \right )\]
\(\displaystyle \lim_{T \to \infty }\frac{1}{T}\)は、無限小の周波数と言えるため、\(\displaystyle \lim_{T \to \infty }\sum_{n=-\infty }^{\infty }\left ( n\frac{1}{T} \right )\frac{1}{T}\)は、\(\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty }fdf\)に置き換えられます。
\[g(t) = \displaystyle \lim_{T \to \infty }\int_{-\infty }^{\infty }\left ( \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau \right ) e^{i2\pi ft} df\]
\(\displaystyle \lim_{T \to \infty }\frac{T}{2}\)を\(\infty\)に置き換えます。
\[g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }\left ( \int_{-\infty}^{\infty }g(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau \right ) e^{i2\pi ft} df\]
\(G(f)=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty }g(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau \)と置きます。
\[g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }G(f)e^{i2\pi ft} df\]
フーリエ変換とフーリエ逆変換を導出できました。