フーリエ級数の無限個のcos波とsin波を無限次元ベクトルで表現した場合、それらのベクトルは互いに直交しています。
つまり、フーリエ級数を\(f(t)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }(a_{n}\mathrm{cos}(n\omega_0 t)+b_{n}\mathrm{sin}(n\omega_0 t))\)とした場合、以下が成り立ちます。
・任意の\(n\)と\(m\)において、\(\mathrm{cos}(n\omega_0 t)\)と\(\mathrm{sin}(m\omega_0 t)\)は互いに直交します。よって、無限次元ベクトルで表現された関数の内積より、以下が成り立ちます。\(T\)は、基本波の周期です。なお、角周波数の定義より、\(T=\displaystyle \frac{2\pi}{\omega_0}\)です。
\[\displaystyle \int_{0}^{T}\cos(n\omega_0 t)\sin(m\omega_0 t)dt=0\]
・\(n\neq m\)の条件で任意の\(n\)と\(m\)において、\(\mathrm{cos}(n\omega_0 t)\)と\(\mathrm{cos}(m\omega_0 t)\)は互いに直交します。よって、無限次元ベクトルで表現された関数の内積より、以下が成り立ちます。
\[\displaystyle \int_{0}^{T}\cos(n\omega_0 t)\cos(m\omega_0 t)dt=0\]
・\(n\neq m\)の条件で任意の\(n\)と\(m\)において、\(\mathrm{sin}(n\omega_0 t)\)と\(\mathrm{sin}(m\omega_0 t)\)は互いに直交します。よって、無限次元ベクトルで表現された関数の内積より、以下が成り立ちます。
\[\displaystyle \int_{0}^{T}\sin(n\omega_0 t)\sin(m\omega_0 t)dt=0\]