離散時間フーリエ逆変換（Inverse Discrete-Time Fourier Transform, IDTFT）とは、離散時間フーリエ変換に対応したフーリエ逆変換のことです。
離散時間信号を\(x[n]\)、\(x[n]\)に対する離散時間フーリエ変換を\(X(\hat{f})\)とした場合、離散時間フーリエ逆変換は、以下のように表せます。
\[x[n] = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} X(\hat{f}) e^{i2\pi \hat{f} n} d\hat{f}\]
このとき、離散時間フーリエ変換は、以下です。
\[X(\hat{f}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-i2\pi \hat{f}n}\]
まず、離散時間フーリエ逆変換の式に離散時間フーリエ変換の式を代入すると以下になります。
\[x[n] = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left ( \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] e^{-i2\pi \hat{f}m} \right ) e^{i2\pi \hat{f} n} d\hat{f}\]
指数法則を利用して、以下のように変形します。
\[x[n] = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left ( \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] e^{i2\pi \hat{f}(n-m)} \right ) d\hat{f}\]
定積分と総和の計算の順番を変えます。
\[x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} \left ( \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} x[m] e^{i2\pi \hat{f}(n-m)} d\hat{f} \right )\]
\(x[m]\)を定積分の外に出します。
\[x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} \left ( x[m] \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{i2\pi \hat{f}(n-m)} d\hat{f} \right )\]
\(m\neq n\)のとき、\(\displaystyle\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{i2\pi \hat{f}(n-m)} d\hat{f}=0\)、\(m=n\)のとき、\(\displaystyle\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{i2\pi \hat{f}(n-m)} d\hat{f}=1\)です。
よって、右辺は、\(x[n]\)です。証明できました。