平方完成

平方完成とは、2次式である\(ax^2+bx+c\)を以下の式に変形することです。

\[a\left ( x +\frac{b}{2a} \right )^2-\frac{b^2}{4a}+c\]

証明

まず、冒頭の式を用意します。

\[a\left ( x +\frac{b}{2a} \right )^2-\frac{b^2}{4a}+c\]

括弧を展開します。

\[=a\left ( x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2} \right )-\frac{b^2}{4a}+c\]

\[=ax^2+bx+\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{4a}+c\]

\[=ax^2+bx+c\]

証明できました。