広義積分とは、定積分の範囲を極限で拡張したものです。
広義積分は、「積分区間が無限大である定積分」もしくは「不連続点を持つ関数に対する定積分」で利用されます。
積分区間がプラス方向に無限大である場合、関数\(f(x)\)に対する広義積分は、以下になります。
\[\displaystyle \lim_{b \to \infty }\int_{a}^{b}f(x)dx\]
この場合、一般的には、\(\displaystyle \int_{a}^{\infty }f(x)dx\)と表記されます。
積分区間がマイナス方向に無限大である場合、関数\(f(x)\)に対する広義積分は、以下になります。
\[\displaystyle \lim_{a \to -\infty }\int_{a}^{b}f(x)dx\]
この場合、一般的には、\(\displaystyle \int_{-\infty }^{b}f(x)dx\)と表記されます。
積分区間がプラス方向にもマイナス方向にも無限大である場合、関数\(f(x)\)に対する広義積分は、以下になります。
\[\displaystyle \lim_{a \to -\infty }\int_{a}^{c}f(x)dx+\displaystyle \lim_{b \to \infty }\int_{c}^{b}f(x)dx\]
この場合、一般的には、\(\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty}f(x)dx\)と表記されます。
積分区間のプラス方向の端で関数\(f(x)\)が無限大である場合など、不連続点\(b\)を持つ関数\(f(x)\)に対する広義積分は、以下になります。
\[\displaystyle \lim_{c \to b^{-}}\int_{a}^{c}f(x)dx\]
この場合、一般的には、\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx\)と表記されます。つまり、広義積分かは文脈で判断します。
積分区間のマイナス方向の端で関数\(f(x)\)が無限大である場合など、不連続点\(a\)を持つ関数\(f(x)\)に対する広義積分は、以下になります。
\[\displaystyle \lim_{c \to a^{+}}\int_{c}^{b}f(x)dx\]
この場合、一般的には、\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx\)と表記されます。つまり、広義積分かは文脈で判断します。
積分区間に不連続点\(c\)を持つ関数\(f(x)\)に対する広義積分は、以下になります。
\[\displaystyle \lim_{t \to c^{-}}\int_{a}^{t}f(x)dx+\displaystyle \lim_{t \to c^{+}}\int_{t}^{b}f(x)dx\]
この場合、一般的には、\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx\)と表記されます。つまり、広義積分かは文脈で判断します。