不定積分の置換積分とは、不定積分の変数を別の変数に置き換えて不定積分を行うことです。
\(\displaystyle\int f(x)dx\)の\(x\)を\(x=g(u)\)で\(u\)に置き換えた場合、不定積分の置換積分は、以下のように表せます。
\[\int f(x)dx=\int f(g(u))g'(u)du\]
ここで、\(f(g(u))\)は、合成関数です。
不定積分の置換積分は、一般的には、そのままでは解くことの難しい不定積分を容易にするために利用されます。
\(\displaystyle\int f(x)dx\)の\(f(x)\)の\(x\)を\(x=g(u)\)で\(u\)に置き換えます。
\[\int f(g(u))dx\]
\(x=g(u)\)を微分すると、\(\displaystyle\frac{dx}{du}=g'(u)\)になります。よって、\(dx=g'(u)du\)です。なので、上記の式を以下のように書き換えます。
\[=\int f(g(u))g'(u)du\]
導出できました。
ここでは、冒頭の公式を使わずに、不定積分の置換積分を行います。公式を使わない方が簡単に不定積分の置換積分ができる場合があります。
まず、以下の不定積分があったとします。
\[\int x(x^2+1)^3dx\]
\(u=x^2+1\)と置き、数式をシンプルにします。
\[=\int xu^3dx\]
\(u=x^2+1\)を微分すると、\(\displaystyle\frac{du}{dx}=2x\)です。よって、\(dx=\displaystyle\frac{du}{2x}\)です。これを使って、上記の式を書き換えます。
\[=\int \frac{1}{2}u^3du\]
不定積分を解きます。
\[=\frac{1}{8}u^4+C\]
元の変数\(x\)での不定積分の解を得たい場合は、上記の式に\(u=x^2+1\)を代入します。
\[=\frac{1}{8}(x^2+1)^4+C\]