単純な波の実効値

単純な波の1周期の実効値は、振幅を\(A\)とした場合、\(\displaystyle\frac{A}{\sqrt{2}}\)で求められます。

導出方法

単純な波を\(f(t)=A\sin(\omega t)\)とした場合、1周期の実効値は、以下のように求められます。

\[\mathrm{RMS} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T (A\sin(\omega t))^2 \,dt}\]

\((\sin(\theta ))^2=\displaystyle\frac{1-\cos(2\theta )}{2}\)であることを利用して、以下のように変形します。

\[= \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T A^2 \frac{1-\cos(2\omega t )}{2} \,dt}\]

整理します。

\[= \sqrt{\frac{A^2}{2T} \left ( \int_0^T 1 \,dt-\int_0^T \cos(2\omega t ) \,dt \right )}\]

\(\displaystyle\int_0^T 1 \,dt=T\)、\(\displaystyle\int_0^T \cos(2\omega t ) \,dt=0\)なので、以下になります。

\[= \sqrt{\frac{A^2}{2}}=\frac{A}{\sqrt{2}}\]

導出できました。