標準基底とは、正規直交基底であり、それらのベクトルが直交座標系の座標軸に沿っているもののことです。
例えば、以下の赤、青、緑の3つのベクトルは、3次元ベクトル空間の標準基底です。
赤のベクトルは(1, 0, 0)、青のベクトルは(0, 1, 0)、緑のベクトルは(0, 0, 1)です。
ベクトルの成分は、任意のベクトルを標準基底を用いた線形結合で表現した際のスカラー倍を指します。
例えば、標準基底をvec[e]]_[[1]], vec[e]]_[[2]], …, vec[e]]_[[n]]とした場合、任意のベクトルは、a_[[1]]vec[e]]_[[1]]+a_[[2]]vec[e]]_[[2]]+…+a_[[n]]vec[e]]_[[n]]と表せます。
このとき、vec[e]]_[1]]=(1, 0, …, 0) , vec[e]]_[2]]=(0, 1, …, 0) , …, vec[e]]_[n]]=(0, 0, …, 1)なので、a_[[1]]vec[e]]_[[1]]+a_[[2]]vec[e]]_[[2]]+…+a_[[n]]vec[e]]_[[n]]に代入すると、(a_[[1]], a_[[2]], …, a_[[n]])になります。