パリティ検査行列

パリティ検査行列とは、生成行列を\(G\)とした場合、以下が成り立つ行列\(H\)のことです。\(O\)は零行列です。

\[GH^T=O\]

送信したいデータをベクトル\(\boldsymbol{v}\)とした場合、\(\boldsymbol{v}G\)でデータを部分ベクトル空間に線形写像できます。そして、この\(\boldsymbol{v}G\)を符号誤りが生じる可能性がある方法で送信し、受信したデータを\(\boldsymbol{r}\)としたとします。

\(\boldsymbol{r}H^T\)を計算して、ゼロベクトルが得られた場合、符号誤りは生じていません。

一方、ゼロベクトルが得られない場合、符号誤りが生じています。

パリティ検査行列の仕組み

生成行列\(G\)の行ベクトルの足し合わせで作られるベクトルとパリティ検査行列\(H\)の行ベクトルの足し合わせで作られるベクトルが直交するように\(H\)は作られています。

よって、冒頭の\(GH^T=O\)が成り立ちます。

受信したデータ\(\boldsymbol{r}\)に符号誤りがない場合、\(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{v}G\)です。この場合、\(\boldsymbol{r}H^T\)は、\(\boldsymbol{v}GH^T\)と表せます。

\(GH^T=O\)なので、符号誤りがない場合、\(\boldsymbol{r}H^T=\boldsymbol{0}\)になります。