三角関数の加法定理の証明

三角関数の加法定理が成り立つことを証明します。

cos関数の加法定理の証明

まず、以下の赤線の長さをlとします。

このとき、青色の直角三角形の底辺の長さは1-fcos(α+β)、高さはfsin(α+β)となります。

よって、青色の直角三角形の3辺に関して、ピタゴラスの定理より、以下の式が成り立ちます。

l^[2]]=(1-fcos(α+β))^[2]]+(fsin(α+β))^[2]] …（式1）

次に、上記の単位円上の2点を以下のように回転させます。

このとき、緑色の直角三角形の底辺の長さはfcos(α)-fcos(β)、高さはfsin(α)+fsin(β)となります。

よって、緑色の直角三角形の3辺に関して、ピタゴラスの定理より、以下の式が成り立ちます。

l^[2]]=(fcos(α)-fcos(β))^[2]]+(fsin(α)+fsin(β))^[2]]

式1の右辺と上式の右辺は等しいので以下の式を作れます。

(1-fcos(α+β))^[2]]+(fsin(α+β))^[2]]=(fcos(α)-fcos(β))^[2]]+(fsin(α)+fsin(β))^[2]]

括弧を展開します。

1-2fcos(α+β)+(fcos(α+β))^[2]]+(fsin(α+β))^[2]]=(fcos(α))^[2]]-2fcos(α)fcos(β)+(fcos(β))^[2]]+(fsin(α))^[2]]+2fsin(α)fsin(β)+(fsin(β))^[2]]

三角関数の基本公式の一つである(fcos(θ))^[2]]+(fsin(θ))^[2]]=1を使って、以下のように整理します。

-2fcos(α+β)=-2fcos(α)fcos(β)+2fsin(α)fsin(β)

両辺を-2で割ります。

fcos(α+β)=fcos(α)fcos(β)-fsin(α)fsin(β)

fcos(α+β)の加法定理を証明できました。次に、上式を使って、fcos(α-β)を求めます。

fcos(α-β)=fcos(α)fcos(ーβ)-fsin(α)fsin(ーβ)

三角関数の基本公式より、fcos(ーθ)=fcos(θ)、fsin(ーθ)=ーfsin(θ)なので、以下のように変形できます。

fcos(α-β)=fcos(α)fcos(β)+fsin(α)fsin(β)

fcos(α-β)の加法定理も証明できました。

sin関数の加法定理の証明

まず、fcos(α+β)の加法定理のαに90°（π/2）を足します。

fcos((α+90°)+β)=fcos(α+90°)fcos(β)-fsin(α+90°)fsin(β)

三角関数の基本公式より、fcos(θ+90°)=ーfsin(θ)、fsin(θ+90°)=fcos(θ)なので、以下のように整理します。

fsin(α+β)=fsin(α)fcos(β)+fcos(α)fsin(β)

fsin(α+β)の加法定理を証明できました。次に、上式を使って、fsin(α-β)を求めます。

fsin(α-β)=fsin(α)fcos(ーβ)+fcos(α)fsin(ーβ)

三角関数の基本公式より、fcos(ーθ)=fcos(θ)、fsin(ーθ)=ーfsin(θ)なので、以下のように変形できます。

fsin(α-β)=fsin(α)fcos(β)-fcos(α)fsin(β)

fsin(α-β)の加法定理も証明できました。

tan関数の加法定理の証明

三角関数の基本公式\(\displaystyle\mathrm{tan}(\theta) =\frac{\mathrm{sin}(\theta) }{\mathrm{cos}(\theta) }\)を使って以下の式を作ります。

cos関数の加法定理とsin関数の加法定理を使って変形します。

\[=\frac{\mathrm{sin}(\alpha )\mathrm{cos}(\beta )+\mathrm{cos}(\alpha )\mathrm{sin}(\beta )}{\mathrm{cos}(\alpha )\mathrm{cos}(\beta )-\mathrm{sin}(\alpha )\mathrm{sin}(\beta )}\]

分子、分母をfcos(α) fcos(β)で割ります。

\[=\frac{\displaystyle\frac{\mathrm{sin}(\alpha )\mathrm{cos}(\beta )}{\mathrm{cos}(\alpha )\mathrm{cos}(\beta )}+\displaystyle\frac{\mathrm{cos}(\alpha )\mathrm{sin}(\beta )}{\mathrm{cos}(\alpha )\mathrm{cos}(\beta )}}{\displaystyle\frac{\mathrm{cos}(\alpha )\mathrm{cos}(\beta )}{\mathrm{cos}(\alpha )\mathrm{cos}(\beta )}-\displaystyle\frac{\mathrm{sin}(\alpha )\mathrm{sin}(\beta )}{\mathrm{cos}(\alpha )\mathrm{cos}(\beta )}}\]

約分します。

\[=\frac{\displaystyle\frac{\mathrm{sin}(\alpha )}{\mathrm{cos}(\alpha )}+\displaystyle\frac{\mathrm{sin}(\beta )}{\mathrm{cos}(\beta )}}{1-\displaystyle\frac{\mathrm{sin}(\alpha )\mathrm{sin}(\beta )}{\mathrm{cos}(\alpha )\mathrm{cos}(\beta )}}\]

\(\displaystyle\mathrm{tan}(\theta) =\frac{\mathrm{sin}(\theta) }{\mathrm{cos}(\theta) }\)なので、以下のように変形します。

\[=\frac{\mathrm{tan}(\alpha )+\mathrm{tan}(\beta )}{1-\mathrm{tan}(\alpha )\mathrm{tan}(\beta )}\]

ftan(α+β)の加法定理を証明できました。次に、上式を使って、ftan(α-β)を求めます。

\[\mathrm{tan}(α-β)=\frac{\mathrm{tan}(α)+\mathrm{tan}(-β)}{1-\mathrm{tan}(α)\mathrm{tan}(-β)}\]

三角関数の基本公式より、ftan(ーθ)=ーftan(θ)なので、以下のように変形できます。

\[\mathrm{tan}(α-β)=\frac{\mathrm{tan}(α)-\mathrm{tan}(β)}{1+\mathrm{tan}(α)\mathrm{tan}(β)}\]

ftan(α-β)の加法定理も証明できました。