線形独立か調べる方法

ベクトルvec[v]]_[[1]], vec[v]]_[[2]],…, vec[v]]_[n]]が線形独立かは、これらのベクトルを以下の式に代入して、a_[1]]=a_[2]]=…=a_[n]]=0以外の解を持たなければ、線形独立と判定できます。

a_[1]]vec[v]]_[1]]+a_[2]]vec[v]]_[2]]+…+a_[n]]vec[v]]_[n]]=vec[0]]

例えば、3個のベクトルvec[v]]_[1]]=(1, 2, 3)、vec[v]]_[2]]=(4, 5, 6)、vec[v]]_[3]]=(7, 8, 9)が線形独立か調べてみます。まず、上記の式に、vec[v]]_[1]]、vec[v]]_[[2]]、vec[v]]_[3]]を代入します。ゼロベクトルは次元を合わせて3次元ベクトルにします。

a_[1]](1, 2, 3)+a_[2]](4, 5, 6)+a_[3]](7, 8, 9)=(0, 0, 0)

a_[1]]~a_[3]]をベクトルの成分に含めます。

(a_[[1]], 2a_[[1]], 3a_[1]])+(4a_[[2]], 5a_[[2]], 6a_[2]])+(7a_[[3]], 8a_[[3]], 9a_[3]])=(0, 0, 0)

各ベクトルの成分を足し合わせて、一つのベクトルにします。

(a_[1]]+4a_[2]]+7a_[[3]], 2a_[1]]+5a_[2]]+8a_[[3]], 3a_[1]]+6a_[2]]+9a_[3]])=(0, 0, 0)

各成分で連立方程式を作ります。

この連立方程式を解いて、a_[1]]=a_[2]]=a_[3]]=0しか解を持たなければ、vec[v]]_[1]]、vec[v]]_[[2]]、vec[v]]_[3]]は、線形独立です。

この場合、連立方程式の解は一つに定まらず、a_[1]]=a_[[3]]、a_[2]]=ー2a_[3]]となり、a_[1]]=a_[2]]=a_[3]]=0以外の解を持ちます。例えば、a_[1]]=1とすれば、a_[2]]=ー2、a_[3]]=1です。よって、vec[v]]_[1]]=(1, 2, 3)、vec[v]]_[2]]=(4, 5, 6)、vec[v]]_[3]]=(7, 8, 9)は、線形独立ではありません。

線形独立ではないので、例えば、vec[v]]_[1]]=2vec[v]]_[2]]-vec[v]]_[3]]のように、他のベクトルの線形結合でvec[v]]_[1]]を表せます。

なお、a_[1]]vec[v]]_[1]]+a_[2]]vec[v]]_[2]]+…+a_[n]]vec[v]]_[n]]=vec[0]]の意味ですが、適当な一つのベクトルを左辺でまとめれば分かります。例えば、vec[v]]_[1]]を左辺にしてまとめると以下になります。

vec[v]]_[1]]を他のベクトルの線形結合で表す式になっています。よって、a_[1]]=a_[2]]=…=a_[n]]=0以外の解を持てば、少なくとも一つのベクトルvec[v]]_[i]]は他のベクトルの線形結合で表すことができます。