速さのマクスウェル分布

速さのマクスウェル分布とは、理想気体において、気体分子の速さをv、気体分子の質量をm、ボルツマン定数をk、理想気体の絶対温度をTとした場合、vを引数とした以下の確率密度関数fff(v)のことです。

なお、速さvは、気体分子の速度ベクトルの大きさです。

速さのマクスウェル分布のグラフ

例えば、気体分子の質量mを適当な値にした場合、速さのマクスウェル分布は、以下になります。黒色のグラフは0℃、赤色のグラフは100℃です。

例えば、理想気体の温度一定で気体分子の質量を変化させると、速さのマクスウェル分布は、以下になります。黒色のグラフは質量2m、青色のグラフは質量mです。mは適当な値とします。

理想気体の気体分子の平均速度v_[___ave__]]は、以下のように表せます。

速さのマクスウェル分布の期待値が理想気体の気体分子の平均速度です。

よって、期待値を計算します。fff(v)を代入すると以下です。

定数を定積分の外に出します。

ガウス積分の変形3であるを利用します。

約分しやすいように整理します。

約分します。

導出できました。

最も確率の高い理想気体の気体分子の速さv_[___mp__]]は、以下のように表せます。

速さのマクスウェル分布のピークを求めれば良いので、微分係数が0になる速さが最大確率速度になります。

まず、導関数f'(v)を求めます。積の微分法則と合成関数の微分を利用すると解けます。

f'(v)=0となるvを求めれば良いので、となるvを求めます。

導出できました。

まず、理想気体の気体分子の速度ベクトルをvec[v]]とした場合、vec[v]]^[2]]を入力変数としたマクスウェル分布は、以下です。

vec[v]]=(v_[[x]], v_[[y]], v_[z]])なので、以下のように置き換えます。なお、vec[v]]^[2]]は内積なので、vec[v]]・vec[v]]=v_[x]]^[2]]+v_[y]]^[2]]+v_[z]]^[2]]となります。

fff(v_[[x]], v_[[y]], v_[z]])は確率密度関数なので、以下のように、3重積分すると1になります。なお、積分領域は、便宜上、積分記号に含めました。

座標(v_[[x]], v_[[y]], v_[z]])を球座標(v, θ, φ)に変数変換します。vは速度ベクトルの大きさです。重積分の変数変換を利用すると、左辺は、以下になります。

以下の球座標の変換式を使って、新たな積分領域を求めます。

v_[x]]、v_[y]]、v_[z]]をそれぞれー∞~∞の範囲で動かすと、vの範囲は、0~∞になります。同様に、弧度法を用いて、θの範囲は0~π、φの範囲はーπ~πになります。よって、？の箇所に以下のように代入します。

続いて、ヤコビ行列J_[f]]は、以下になります。

球座標の変換式より、v_[x]]=v fsinθ fcosφ、v_[y]]=v fsinθ fsinφ、v_[z]]=v fcosθなので、以下になります。

それぞれの偏微分を解きます。なお、(fcosx)'=ーfsinx、(fsinx)'=fcosxを利用します。

行列式___det__（J_[f]])を求めます。

___det__（J_[f]])=v^[2]]fsin^[3]]θ fsin^[2]]φ+v^[2]]fcos^[2]]θ fcos^[2]]φ fsinθ+v^[2]]fsinθ fsin^[2]]φ fcos^[2]]θ+v^[2]]fsin^[3]]θ fcos^[2]]φ

v^[2]]fsinθでくくります。

＝v^[2]]fsinθ (fsin^[2]]θ fsin^[2]]φ+fcos^[2]]θ fcos^[2]]φ+fsin^[2]]φ fcos^[2]]θ+fsin^[2]]θ fcos^[2]]φ)

括弧内をfsin^[2]]θとfcos^[2]]θでくくります。

＝v^[2]]fsinθ (fsin^[2]]θ (fsin^[2]]φ+fcos^[2]]φ)+fcos^[2]]θ (fcos^[2]]φ+fsin^[2]]φ))

三角関数の基本公式より、fcos^[2]]φ+fsin^[2]]φ=1なので、以下になります。

＝v^[2]]fsinθ (fsin^[2]]θ+fcos^[2]]θ)

同様に、fcos^[2]]θ+fsin^[2]]θ=1なので、以下になります。

＝v^[2]]fsinθ

___det__（J_[f]])=v^[2]]fsinθと求まりました。積分領域に関して、θの範囲は0~πなので、v^[2]]fsinθはマイナス値にならず、|___det__（J_[f]])|=v^[2]]fsinθとなります。よって、以下の式が得られます。

なので、以下になります。

この場合、順不同の逐次積分が可能なので、まず、θに関する定積分を解きます。

続いて、φに関する定積分を解きます。

よって、速度ベクトルの大きさvに関する確率密度関数fff(v)は、以下になります。

冒頭の式を導出できました。